Докажите, что если число 3a + 2b делится на 17, то и число 10a + b делится на 17. Является ли это утверждение обратным верным?

Алгебра 8 класс Делимость чисел алгебра 8 класс делимость на 17 доказательство утверждения обратное утверждение 3a + 2b 10a + b математическая логика Новый

Для доказательства утверждения, что если число 3a + 2b делится на 17, то и число 10a + b делится на 17, мы можем воспользоваться методом доказательства от противного и некоторыми свойствами делимости.

Шаг 1: Запишем условие делимости

Предположим, что 3a + 2b делится на 17. Это означает, что существует такое целое число k, что:

• 3a + 2b = 17k.

Шаг 2: Найдем 10a + b через 3a + 2b

Теперь выразим 10a + b через 3a + 2b. Умножим уравнение 3a + 2b на 3:

• 9a + 6b = 51k.

Теперь вычтем из этого уравнения 3(3a + 2b) и добавим b:

• 10a + b = 9a + 6b - 3(3a + 2b) + b.

Упрощая, получаем:

• 10a + b = 9a + 6b - 9a - 6b + b = b.

Таким образом, мы можем выразить 10a + b как:

• 10a + b = b.

Шаг 3: Проверка делимости

Теперь, чтобы показать, что 10a + b делится на 17, мы можем использовать то, что 3a + 2b = 17k. Если 3a + 2b делится на 17, то и b также должно делиться на 17, поскольку 3a делится на 17, если 2b делится на 17.

Итак, мы можем заключить, что если 3a + 2b делится на 17, то и 10a + b также делится на 17.

Обратное утверждение

Теперь давайте рассмотрим обратное утверждение: если 10a + b делится на 17, то 3a + 2b также делится на 17. Это утверждение не является верным.

Пример: пусть a = 1 и b = 7. Тогда:

• 10a + b = 10 * 1 + 7 = 17,
• которое делится на 17.

Теперь проверим 3a + 2b:

• 3a + 2b = 3 * 1 + 2 * 7 = 3 + 14 = 17,
• которое также делится на 17.

Но если мы возьмем, например, a = 1 и b = 5:

• 10a + b = 10 * 1 + 5 = 15,
• которое не делится на 17.

При этом:

• 3a + 2b = 3 * 1 + 2 * 5 = 3 + 10 = 13,
• которое также не делится на 17.

Таким образом, обратное утверждение не является верным.

В итоге, мы доказали, что если 3a + 2b делится на 17, то и 10a + b делится на 17. Но обратное утверждение не является верным.