Как можно доказать, что для любого натурального n значение выражения: (7n+6) в квадрате минус (2n-9) в квадрате делится нацело на 15?

Алгебра 8 класс Делимость выражений доказательство натуральные числа алгебра выражение Делимость квадраты делится на 15 7n+6 2n-9 задачи по алгебре Новый

Чтобы доказать, что выражение (7n + 6) в квадрате минус (2n - 9) в квадрате делится нацело на 15 для любого натурального n, мы воспользуемся разностью квадратов и свойствами делимости.

Шаг 1: Применим формулу разности квадратов.

Разность квадратов a^2 - b^2 можно разложить как (a - b)(a + b). В нашем случае a = (7n + 6) и b = (2n - 9). Таким образом, мы можем записать:

(7n + 6)^2 - (2n - 9)^2 = [(7n + 6) - (2n - 9)] * [(7n + 6) + (2n - 9)]

Шаг 2: Упростим каждую из скобок.

• Первая скобка: (7n + 6) - (2n - 9) = 7n + 6 - 2n + 9 = 5n + 15.
• Вторая скобка: (7n + 6) + (2n - 9) = 7n + 6 + 2n - 9 = 9n - 3.

Теперь мы можем записать выражение как:

(5n + 15)(9n - 3).

Шаг 3: Проанализируем делимость на 15.

15 = 3 * 5, поэтому нам нужно показать, что произведение (5n + 15)(9n - 3) делится на 3 и на 5.

Делимость на 5:

• 5n + 15 всегда делится на 5, так как 5n и 15 оба кратны 5.
• Следовательно, произведение (5n + 15)(9n - 3) делится на 5.

Делимость на 3:

• Рассмотрим 5n + 15. Поскольку 15 делится на 3, то 5n + 15 делится на 3, если n кратно 3.
• Теперь рассмотрим 9n - 3. Это выражение всегда делится на 3, так как 9n кратно 3, а -3 тоже кратно 3.

Таким образом, независимо от значения n, одно из выражений (5n + 15) или (9n - 3) всегда делится на 3.

Шаг 4: Заключение.

Мы показали, что произведение (5n + 15)(9n - 3) делится на 5 и на 3. Следовательно, оно делится на 15. Таким образом, для любого натурального n выражение (7n + 6)^2 - (2n - 9)^2 делится на 15.