Как можно обосновать, что сумма 3 в степени 9 и 9 в степени 3 делится на 14?

Алгебра 8 класс Делимость чисел алгебра 8 класс сумма степеней делимость на 14 обоснование делимости 3 в степени 9 9 в степени 3 Новый

Чтобы обосновать, что сумма 3 в степени 9 и 9 в степени 3 делится на 14, мы можем воспользоваться свойствами делимости и остатками от деления.

Рассмотрим выражение:

3^9 + 9^3

Сначала найдем остатки от деления каждого из слагаемых на 14.

1. Находим 3^9 mod 14:
   • Для этого воспользуемся свойством периодичности остатков. Посчитаем несколько первых степеней числа 3 по модулю 14:
   • 3^1 = 3
   • 3^2 = 9
   • 3^3 = 27, 27 mod 14 = 13
   • 3^4 = 39, 39 mod 14 = 11
   • 3^5 = 33, 33 mod 14 = 5
   • 3^6 = 15, 15 mod 14 = 1

   Мы видим, что 3 в 6-й степени дает остаток 1. Значит, 3^6 mod 14 = 1.

   Теперь можем выразить 3^9 как 3^(6+3) = 3^6 * 3^3.

   Поэтому:

   3^9 mod 14 = (3^6 mod 14) * (3^3 mod 14) = 1 * 13 = 13.

2. Находим 9^3 mod 14:
   • Заметим, что 9 mod 14 = 9.
   • Теперь посчитаем 9^2 и 9^3:
   • 9^2 = 81, 81 mod 14 = 11.
   • 9^3 = 9 * 9^2 = 9 * 81 = 729, 729 mod 14 = 1.

   Таким образом, 9^3 mod 14 = 1.

Теперь подставим найденные остатки в исходное выражение:

3^9 + 9^3 mod 14 = 13 + 1 mod 14 = 14 mod 14 = 0.

Это означает, что сумма 3 в степени 9 и 9 в степени 3 делится на 14.

Итак, мы доказали, что:

3^9 + 9^3 делится на 14.