Как можно подтвердить, что √(7+4√3)+√(7-4√3) является натуральным числом?

Алгебра 8 класс Иррациональные числа алгебра 8 класс натуральное число подтверждение квадратный корень свойства чисел решение уравнений математические доказательства Новый

Чтобы подтвердить, что выражение √(7+4√3)+√(7-4√3) является натуральным числом, мы можем упростить его шаг за шагом.

1. Обозначим выражение:

   Пусть x = √(7+4√3) + √(7-4√3).

2. Квадрат выражения:

   Теперь возведем x в квадрат:

   x² = (√(7+4√3) + √(7-4√3))².

   По формуле (a + b)² = a² + 2ab + b² получаем:

   x² = (7 + 4√3) + 2√((7 + 4√3)(7 - 4√3)) + (7 - 4√3).

3. Упростим:

   Сначала упростим (7 + 4√3) + (7 - 4√3):

   7 + 4√3 + 7 - 4√3 = 14.

   Теперь найдем 2√((7 + 4√3)(7 - 4√3)).

4. Вычислим произведение:

   (7 + 4√3)(7 - 4√3) = 7² - (4√3)² = 49 - 48 = 1.

   Таким образом, 2√((7 + 4√3)(7 - 4√3)) = 2√1 = 2.

5. Сложим все части:

   Теперь подставим найденные значения обратно в x²:

   x² = 14 + 2 = 16.

6. Найдем x:

   Теперь, чтобы найти x, извлечем квадратный корень из 16:

   x = √16 = 4.

Таким образом, мы получили, что √(7+4√3) + √(7-4√3) = 4, что является натуральным числом. Поэтому мы подтвердили, что данное выражение действительно является натуральным числом.