Как можно представить многочлен 3a^3 - 3b^3 + 5a^2 - 5b^2 в виде произведения?

Также, как можно представить многочлен a^4 - a^3b + ab^3 - b^4 в виде произведения?

Алгебра 8 класс Факторизация многочленов многочлен алгебра 8 класс представление многочлена произведение многочлена 3a^3 - 3b^3 + 5a^2 - 5b^2 a^4 - a^3b + ab^3 - b^4 факторизация алгебраические выражения учебник алгебры задачи по алгебре Новый

Давайте рассмотрим первый многочлен: 3a³ - 3b³ + 5a² - 5b².

Первый шаг — заметить, что в этом многочлене можно выделить общие множители. Объединим первые два и последние два слагаем:

• 3a³ - 3b³
• 5a² - 5b²

Теперь можем вынести общий множитель:

• 3(a³ - b³) + 5(a² - b²)

Теперь нам нужно упростить каждую из этих групп. Мы знаем, что a³ - b³ — это разность кубов, которая раскладывается по формуле:

• a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Также a² - b² — это разность квадратов, которая раскладывается так:

• a² - b² = (a - b)(a + b)

Таким образом, можем записать:

• 3(a - b)(a² + ab + b²) + 5(a - b)(a + b)

Теперь можем вынести общий множитель (a - b):

• (a - b)(3(a² + ab + b²) + 5(a + b))

Соберем все вместе:

• (a - b)(3a² + 3ab + 5b² + 5a + 5b)

Теперь перейдем ко второму многочлену: a⁴ - a³b + ab³ - b⁴.

Для начала мы можем сгруппировать слагаем:

• (a⁴ - b⁴) - (a³b - ab³)

Сначала разложим a⁴ - b⁴ по формуле разности квадратов:

• a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²)

a³b - ab³ можно переписать как ab(a² - b²). Теперь у нас есть:

• (a² - b²)(a² + b²) - ab(a - b)

Обратите внимание, что (a² - b²) можно представить как (a - b)(a + b), поэтому мы можем записать:

• (a - b)(a + b)(a² + b²) - ab(a - b)

Теперь мы можем вынести общий множитель (a - b):

• (a - b)((a + b)(a² + b²) - ab)

Итак, итоговая форма второго многочлена:

• (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³ - ab)

Таким образом, мы разложили оба многочлена на множители!