Как можно разложить многочлен на множители?

1) a3 + a2 + 3a + 27

2) x3 + 2x2 - 2x - ПЛИИИИЗ

Алгебра 8 класс Разложение многочленов на множители разложение многочлена многочлен на множители алгебра 8 класс примеры разложения факторизация многочлена Новый

Разложение многочлена на множители — это процесс, при котором мы представляем многочлен в виде произведения его множителей. Рассмотрим оба примера по очереди.

1) a^3 + a^2 + 3a + 27

Для начала попробуем сгруппировать члены многочлена:

• Сгруппируем первые два и последние два члена: (a^3 + a^2) + (3a + 27).

Теперь вынесем общий множитель из каждой группы:

• Из первой группы (a^3 + a^2) вынесем a^2: a^2(a + 1).
• Из второй группы (3a + 27) вынесем 3: 3(a + 9).

Теперь у нас есть:

a^2(a + 1) + 3(a + 9).

Однако, мы видим, что у нас нет общего множителя, который можно было бы вынести. Поэтому попробуем другой подход: будем искать корни многочлена с помощью подбора.

Проверим, есть ли целые корни:

• Подставим a = -3: (-3)^3 + (-3)^2 + 3*(-3) + 27 = -27 + 9 - 9 + 27 = 0. Это корень!

Теперь мы можем разделить многочлен на (a + 3) с помощью деления многочленов:

Результат деления: a^2 - 2a + 9.

Таким образом, мы можем записать многочлен в виде:

(a + 3)(a^2 - 2a + 9).

Теперь у нас есть разложение на множители.

2) x^3 + 2x^2 - 2x

В этом случае можно сразу вынести общий множитель:

• Общий множитель — это x. Вынесем его: x(x^2 + 2x - 2).

Теперь нам нужно разложить квадратный многочлен x^2 + 2x - 2. Для этого найдем его корни с помощью формулы дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-2) = 4 + 8 = 12.
• Корни: x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) и x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a).

Подставляем значения:

• x1 = (-2 + sqrt(12)) / 2 = -1 + sqrt(3),
• x2 = (-2 - sqrt(12)) / 2 = -1 - sqrt(3).

Таким образом, мы можем записать многочлен в виде:

x(x - (-1 + sqrt(3)))(x - (-1 - sqrt(3))).

Или в более компактной форме:

x(x + 1 - sqrt(3))(x + 1 + sqrt(3)).

Таким образом, мы разложили оба многочлена на множители.