Чтобы разложить многочлен х³ - 3х² - 4х + 12 на множители, мы можем воспользоваться методом подбора корней и делением многочленов. Давайте рассмотрим шаги решения более подробно.

1. Найдем возможные рациональные корни:
• По теореме о рациональных корнях, возможные корни многочлена можно найти, взяв делители свободного члена (в нашем случае 12) и делители старшего коэффициента (в нашем случае 1).
• Делителями числа 12 являются: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
2. Проверим возможные корни:
• Подставим корень 2:

  2³ - 3(2)² - 4(2) + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0.

  Таким образом, 2 является корнем многочлена.

3. Разделим многочлен на (х - 2):
• Мы можем использовать деление многочлена. Разделим х³ - 3х² - 4х + 12 на (х - 2).
• При делении мы получим:

  х² - х - 6.

4. Разложим полученный квадратный многочлен:
• Теперь нам нужно разложить х² - х - 6 на множители. Мы ищем такие числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1.
• Подходящие числа: -3 и 2.
• Таким образом, мы можем записать: х² - х - 6 = (х - 3)(х + 2).
5. Соберем все вместе:
• Теперь мы можем записать исходный многочлен в виде произведения:

  х³ - 3х² - 4х + 12 = (х - 2)(х - 3)(х + 2).

Таким образом, многочлен х³ - 3х² - 4х + 12 разлагается на множители как (х - 2)(х - 3)(х + 2).