Как можно разложить на множители выражение x^3 − 9x^2 + 27x − 19?

Алгебра 8 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители алгебра 8 класс выражение x^3 многочлены методы разложения математические задачи Новый

Чтобы разложить на множители выражение x^3 − 9x^2 + 27x − 19, мы можем воспользоваться методом подбора корней и делением многочленов.

Шаг 1: Поиск возможных корней

Сначала попробуем найти рациональные корни многочлена с помощью теоремы о рациональных корнях. Она утверждает, что возможные рациональные корни могут быть в виде дробей, числитель которых делит свободный член, а знаменатель — старший коэффициент. В нашем случае:

• Свободный член: -19
• Старший коэффициент: 1

Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±19.

Шаг 2: Подбор корней

Подставим эти значения поочередно в многочлен, чтобы найти корень.

• Подставим x = 1:

1^3 − 9*1^2 + 27*1 − 19 = 1 − 9 + 27 − 19 = 0. Это корень!

Шаг 3: Деление многочлена

Теперь, когда мы нашли корень x = 1, мы можем разделить многочлен x^3 − 9x^2 + 27x − 19 на (x - 1) с помощью деления многочленов.

Выполним деление:

1. Разделим первый член: x^3 / x = x^2.
2. Умножим (x - 1) на x^2: (x - 1) * x^2 = x^3 - x^2.
3. Вычтем: (x^3 − 9x^2) − (x^3 − x^2) = -8x^2.
4. Опустим следующий член: -8x^2 + 27x.
5. Разделим: -8x^2 / x = -8x.
6. Умножим: (x - 1) * (-8x) = -8x^2 + 8x.
7. Вычтем: (-8x^2 + 27x) − (-8x^2 + 8x) = 19x.
8. Опустим следующий член: 19x - 19.
9. Разделим: 19x / x = 19.
10. Умножим: (x - 1) * 19 = 19x - 19.
11. Вычтем: (19x - 19) − (19x - 19) = 0.

Таким образом, мы получили результат деления:

x^3 − 9x^2 + 27x − 19 = (x - 1)(x^2 - 8x + 19).

Шаг 4: Разложение квадратного трехчлена

Теперь нам нужно разложить x^2 - 8x + 19. Для этого найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * 19 = 64 - 76 = -12.

Поскольку дискриминант отрицательный, квадратный трехчлен не раскладывается на множители с действительными корнями.

Итог

Таким образом, окончательно мы можем записать разложение на множители:

x^3 − 9x^2 + 27x − 19 = (x - 1)(x^2 - 8x + 19).

Это разложение является окончательным, так как второй множитель не может быть разложен на действительные множители.