Как можно решить неравенство 4^x - 12*2^x + 32 < 0? Пожалуйста, помогите!

Алгебра 8 класс Неравенства с переменной в показателе неравенства алгебра 8 класс решение неравенств 4^x 2^X математические задачи помощь по алгебре Новый

Для решения неравенства 4^x - 12*2^x + 32 < 0, начнем с преобразования выражения. Заметим, что 4^x можно представить как (2^2)^x, что равно (2^x)^2. Обозначим 2^x за t. Тогда наше неравенство можно переписать следующим образом:

(t^2 - 12t + 32 < 0)

Теперь у нас есть квадратное неравенство. Чтобы решить его, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

t^2 - 12t + 32 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -12, c = 32. Подставляем эти значения:

1. Находим дискриминант: D = (-12)^2 - 4*1*32 = 144 - 128 = 16.
2. Теперь находим корни: t = (12 ± √16) / 2 = (12 ± 4) / 2.
3. Корни: t1 = (12 + 4) / 2 = 16 / 2 = 8 и t2 = (12 - 4) / 2 = 8 / 2 = 4.

Таким образом, корни нашего уравнения: t1 = 8 и t2 = 4. Теперь мы можем записать неравенство в виде:

(t - 4)(t - 8) < 0

Теперь определим, на каких промежутках это неравенство выполняется. Для этого рассмотрим знаки произведения на интервалах, определяемых корнями:

• t < 4: (отрицательное) * (отрицательное) = положительное.
• 4 < t < 8: (положительное) * (отрицательное) = отрицательное.
• t > 8: (положительное) * (положительное) = положительное.

Таким образом, неравенство (t - 4)(t - 8) < 0 выполняется на промежутке (4, 8).

Теперь вернемся к переменной t. Так как мы обозначили t = 2^x, получаем:

4 < 2^x < 8

Теперь решим каждую часть этого двойного неравенства:

1. 2^x > 4. Это равносильно 2^x > 2^2, следовательно, x > 2.
2. 2^x < 8. Это равносильно 2^x < 2^3, следовательно, x < 3.

Таким образом, мы получили, что x находится в интервале:

2 < x < 3

В заключение, решение неравенства 4^x - 12*2^x + 32 < 0:

x ∈ (2, 3)