Чтобы найти наименьшее целое решение для неравенства 0,5ⁿ ≤ 0,25^n², мы начнем с преобразования выражений в более удобные для сравнения формы.

1. Преобразуем основание степени 0,25. Мы знаем, что 0,25 = (0,5)². Таким образом, выражение 0,25^n² можно переписать как (0,5)^2n².
2. Теперь наше неравенство выглядит так: (0,5)ⁿ ≤ (0,5)^2n².
3. Основания степеней одинаковые, поэтому можно сравнить показатели степеней. Получаем неравенство: n ≤ 2n².
4. Переносим все на одну сторону, чтобы получить: 2n² - n ≥ 0.
5. Вынесем n за скобку: n(2n - 1) ≥ 0.
6. Теперь решим неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения: n = 0 и 2n - 1 = 0, то есть n = 0 и n = 0.5.
7. Так как мы ищем целое решение, рассмотрим интервалы:
   • При n < 0: произведение отрицательное.
   • При n = 0: произведение равно нулю.
   • При 0 < n < 0.5: произведение положительное.
   • При n = 0.5: произведение равно нулю.
   • При n > 0.5: произведение положительное.
8. Таким образом, наименьшее целое решение, при котором неравенство выполняется, это n = 0.

Таким образом, наименьшее целое значение n, удовлетворяющее неравенству, равно 0.