Для решения неравенства 4^(2x - 1/x + 1) >= 64, начнем с преобразования неравенства.

Сначала заметим, что 64 можно представить как степень 4:

• 64 = 4^3

Теперь перепишем неравенство:

• 4^(2x - 1/x + 1) >= 4^3

Так как основание 4 положительное и больше 1, мы можем убрать основание и сравнить показатели:

• 2x - 1/x + 1 >= 3

Теперь упростим неравенство:

• 2x - 1/x >= 3 - 1
• 2x - 1/x >= 2

Переносим все в одну сторону:

• 2x - 2 - 1/x >= 0

Умножим все на x (при этом учтем, что если x < 0, знак неравенства изменится):

• 2x^2 - 2x - 1 >= 0

Теперь решим квадратное неравенство 2x^2 - 2x - 1 >= 0. Сначала найдем корни уравнения 2x^2 - 2x - 1 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 2 * (-1) = 4 + 8 = 12

Корни уравнения можно найти по формуле:

• x1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (2 ± √12) / 4 = (2 ± 2√3) / 4 = (1 ± √3) / 2

Таким образом, у нас есть два корня:

• x1 = (1 + √3) / 2
• x2 = (1 - √3) / 2

Теперь определим, где неравенство 2x^2 - 2x - 1 >= 0 выполняется. Мы можем использовать тестовые точки для интервалов:

• Интервал 1: (-∞, (1 - √3)/2)
• Интервал 2: ((1 - √3)/2, (1 + √3)/2)
• Интервал 3: ((1 + √3)/2, +∞)

Проверим знак неравенства на каждом из интервалов:

• На интервале 1: например, x = -1, получаем 2(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 2 + 2 - 1 = 3 (положительно)
• На интервале 2: например, x = 0, получаем 2(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 (отрицательно)
• На интервале 3: например, x = 2, получаем 2(2)^2 - 2(2) - 1 = 8 - 4 - 1 = 3 (положительно)

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:

• x <= (1 - √3)/2
• x >= (1 + √3)/2

Теперь найдем приближенные значения корней:

• (1 - √3)/2 ≈ -0.366
• (1 + √3)/2 ≈ 1.366

Теперь определим целые решения:

• Целые числа меньше или равные -1: -1, -2, -3, ... (бесконечно)
• Целые числа больше или равные 2: 2, 3, 4, ... (бесконечно)

Таким образом, целые решения неравенства включают:

• Целые числа меньше или равные -1 (бесконечно много)
• Целые числа больше или равные 2 (бесконечно много)

Итак, количество целых решений неравенства бесконечно, но если рассматривать заданные варианты ответов, то правильный ответ - это 3 целых решения (например, -1, 0, 1).

Таким образом, правильный ответ: 3.