Как можно решить уравнение (2х-1)^4 - 26(2x - 1)^2 + 25 = 0?

Алгебра 8 класс Уравнения с переменной в степени решение уравнения алгебра 8 класс уравнение степени 4 квадратное уравнение метод подстановки факторизация математические задачи алгебраические выражения Новый

Чтобы решить уравнение (2x - 1)^4 - 26(2x - 1)^2 + 25 = 0, давайте сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Обозначим:

y = (2x - 1)^2

Теперь у нас есть:

(2x - 1)^4 = y^2, так как (2x - 1)^4 = ((2x - 1)^2)^2 = y^2.

Подставим это в исходное уравнение:

y^2 - 26y + 25 = 0.

Теперь это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -26
• c = 25

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

x = (26 ± √((-26)² - 4 * 1 * 25)) / (2 * 1).

Сначала вычислим дискриминант:

D = (-26)² - 4 * 1 * 25 = 676 - 100 = 576.

Теперь найдем корень из дискриминанта:

√D = √576 = 24.

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу для нахождения корней:

y = (26 ± 24) / 2.

Теперь найдем два возможных значения для y:

1. y₁ = (26 + 24) / 2 = 50 / 2 = 25
2. y₂ = (26 - 24) / 2 = 2 / 2 = 1

Теперь у нас есть два значения для y: y₁ = 25 и y₂ = 1. Теперь вернемся к нашей замене y = (2x - 1)² и найдем x.

1. Для y₁ = 25:

(2x - 1)² = 25.

Теперь извлечем квадратный корень:

2x - 1 = ±5.

Решим два случая:

• 2x - 1 = 5 → 2x = 6 → x = 3.
• 2x - 1 = -5 → 2x = -4 → x = -2.

2. Для y₂ = 1:

(2x - 1)² = 1.

Извлекаем квадратный корень:

2x - 1 = ±1.

Решим два случая:

• 2x - 1 = 1 → 2x = 2 → x = 1.
• 2x - 1 = -1 → 2x = 0 → x = 0.

Теперь у нас есть все решения:

x = 3, x = -2, x = 1, x = 0.

Таким образом, уравнение (2x - 1)^4 - 26(2x - 1)^2 + 25 = 0 имеет четыре решения: x = 3, x = -2, x = 1 и x = 0.