Как найти решение данного уравнения в целых числах: xy/z + xz/y + yz/x = 3?

Алгебра 8 класс Уравнения с несколькими переменными решение уравнения целые числа алгебра 8 класс уравнения с тремя переменными математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение xy/z + xz/y + yz/x = 3 в целых числах, давайте начнем с приведения его к более удобному виду.

Первым шагом мы можем умножить все члены уравнения на xyz, чтобы избавиться от дробей. Это даст нам:

1. xyz * (xy/z) = x^2y^2
2. xyz * (xz/y) = x^2z^2
3. xyz * (yz/x) = y^2z^2

Таким образом, уравнение становится:

x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 = 3xyz

Теперь мы можем перезаписать уравнение:

x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2 - 3xyz = 0

Это уравнение является многочленом третьей степени по переменным x, y и z. Чтобы упростить задачу, давайте попробуем найти целочисленные решения, подбирая значения для одной из переменных и анализируя, что получится для остальных.

Рассмотрим, например, случай, когда x = y = z = 1. Подставим эти значения в уравнение:

11/1 + 11/1 + 1*1/1 = 3

Это уравнение выполняется, и значит, (1, 1, 1) является решением. Теперь давайте попробуем найти другие возможные решения.

Попробуем подставить отрицательные значения. Например, x = y = z = -1:

(-1)(-1)/(-1) + (-1)(-1)/(-1) + (-1)(-1)/(-1) = 3

Это также выполняется, и значит, (-1, -1, -1) тоже является решением.

Теперь, чтобы найти все целые решения, можно попробовать перебрать небольшие значения для x, y и z, как положительные, так и отрицательные. Например:

• Если x = 2, y = 1, z = 1, то 2*1/1 + 2*1/1 + 1*1/2 = 2 + 2 + 0.5 = 4.5 (не подходит)
• Если x = 2, y = 2, z = 1, то 2*2/1 + 2*1/2 + 2*1/2 = 4 + 1 + 1 = 6 (не подходит)
• Если x = 2, y = 2, z = 2, то 2*2/2 + 2*2/2 + 2*2/2 = 2 + 2 + 2 = 6 (не подходит)

Таким образом, мы видим, что простые целые решения, которые мы нашли, это (1, 1, 1) и (-1, -1, -1). Чтобы найти все решения, можно продолжать перебор различных комбинаций целых чисел, но с учетом симметрии уравнения, все решения будут представлять собой перестановки найденных решений.

В заключение, целые решения уравнения xy/z + xz/y + yz/x = 3 включают (1, 1, 1) и (-1, -1, -1), а также их перестановки.