Как построить график функции x в четвертой степени плюс 6x в квадрате плюс 9?

Алгебра 8 класс Графики функций график функции алгебра 8 класс построение графика функции степени математические функции алгебраические уравнения анализ графиков четвертая степень квадратные функции учебник по алгебре Новый

Чтобы построить график функции f(x) = x^4 + 6x^2 + 9, следуем нескольким шагам:

1. Определим вид функции: Это полиномиальная функция четвёртой степени. Полином четвёртой степени имеет форму U-образного графика, который может иметь минимум или максимум.
2. Найдем корни функции: Для этого нужно решить уравнение f(x) = 0. Однако, в данном случае, мы можем заметить, что функция имеет вид:
   • f(x) = (x^2 + 3)^2. Это квадрат суммы, и он всегда больше или равен нуля, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.
3. Найдем критические точки: Чтобы найти минимумы и максимумы, необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю. Находим f'(x):
   • f'(x) = 4x^3 + 12x.
   • Приравниваем к нулю: 4x^3 + 12x = 0.
   • Вынесем общий множитель: 4x(x^2 + 3) = 0.
   • Получаем два случая: x = 0 и x^2 + 3 = 0. Последнее уравнение не имеет действительных корней.
4. Определим значение функции в критической точке: Подставим x = 0 в исходную функцию:
   • f(0) = 0^4 + 6*0^2 + 9 = 9.
5. Определим поведение функции: Поскольку f(x) = (x^2 + 3)^2, мы видим, что функция имеет минимум в точке x = 0 и f(0) = 9. При увеличении или уменьшении x функция будет расти, так как квадрат всегда положителен.
6. Построим график: Теперь, когда мы знаем, что минимум функции равен 9 и находится в точке (0, 9), а также что функция стремится к бесконечности при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности, мы можем построить график:
   • Наносим точку (0, 9) на координатной плоскости.
   • График функции будет U-образным, с минимальной точкой в (0, 9) и будет расти в обе стороны от этой точки.

Таким образом, мы построили график функции f(x) = x^4 + 6x^2 + 9, который имеет минимум в точке (0, 9) и растет по обе стороны от этой точки.