Как разложить на множители следующее выражение:

a^3 + 8b^3 + a^2 + 4ab + 4b^2?

Алгебра 8 класс Разложение многочленов на множители алгебра 8 класс разложение на множители выражение a^3 8b^3 a^2 4ab 4b^2 математика факторизация многочлены учебный материал задачи по алгебре Новый

Для разложения на множители выражения a^3 + 8b^3 + a^2 + 4ab + 4b^2 мы будем использовать несколько шагов, включая группировку и применение формулы куба суммы.

Шаг 1: Приведение к стандартному виду

Сначала заметим, что 8b^3 можно представить как (2b)^3. Таким образом, мы можем перезаписать выражение:

a^3 + (2b)^3 + a^2 + 4ab + 4b^2

Шаг 2: Группировка

Теперь сгруппируем члены, чтобы упростить разложение:

• (a^3 + (2b)^3) - это сумма кубов;
• (a^2 + 4ab + 4b^2) - это квадрат суммы.

Шаг 3: Применение формул

Теперь применим формулы:

• Сумма кубов: x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2). В нашем случае x = a и y = 2b.
• Квадрат суммы: (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. В нашем случае x = a и y = 2b.

Шаг 4: Применение формулы суммы кубов

Применим формулу суммы кубов:

• Сначала найдем (a + 2b) и (a^2 - a(2b) + (2b)^2):
• Это будет (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2).

Шаг 5: Применение формулы квадрата суммы

Теперь разложим второй множитель:

• (a + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2.

Шаг 6: Объединение результатов

Теперь мы можем объединить все результаты:

a^3 + 8b^3 + a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) + (a + 2b)^2

Таким образом, окончательное разложение на множители будет:

(a + 2b)(a^2 + 2b^2).

Таким образом, выражение a^3 + 8b^3 + a^2 + 4ab + 4b^2 разлагается на множители как (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2).