Как разложить на множители следующие выражения:

1. 1 - (8a - 3)²
2. a⁵ + a⁴ - 2a³ - 2a² + a + 1

Алгебра 8 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители алгебра 8 класс выражения 8 класс алгебра примеры разложения квадрат разности многочлены алгебраические выражения Новый

Давайте разложим на множители оба выражения по очереди.

Первое выражение: 1 - (8a - 3)²

Это выражение можно привести к виду разности квадратов. Напомним, что разность квадратов имеет следующий вид:

a² - b² = (a - b)(a + b)

В нашем случае:

• a = 1
• b = (8a - 3)

Теперь подставим эти значения в формулу разности квадратов:

1 - (8a - 3)² = (1 - (8a - 3))(1 + (8a - 3))

Упростим каждую из скобок:

• 1 - (8a - 3) = 1 - 8a + 3 = 4 - 8a
• 1 + (8a - 3) = 1 + 8a - 3 = 8a - 2

Таким образом, мы получаем:

1 - (8a - 3)² = (4 - 8a)(8a - 2)

Второе выражение: a⁵ + a⁴ - 2a³ - 2a² + a + 1

Для разложения этого многочлена на множители мы можем попробовать сгруппировать его. Посмотрим на его структуру:

Сначала объединим члены в пары:

(a⁵ + a⁴) + (-2a³ - 2a²) + (a + 1)

Теперь вынесем общий множитель из каждой группы:

• Из первой группы (a⁵ + a⁴) можно вынести a⁴: a⁴(a + 1)
• Из второй группы (-2a³ - 2a²) можно вынести -2a²: -2a²(a + 1)
• Третья группа (a + 1) остается без изменений.

Теперь имеем:

a⁴(a + 1) - 2a²(a + 1) + (a + 1)

Теперь можно вынести общий множитель (a + 1):

(a + 1)(a⁴ - 2a² + 1)

Теперь нам нужно проверить, можно ли разложить второй множитель a⁴ - 2a² + 1. Это выражение можно рассматривать как квадратный трехчлен по переменной a²:

Пусть x = a², тогда у нас получится:

x² - 2x + 1 = (x - 1)²

Подставим обратно a²:

(a² - 1)² = (a - 1)²(a + 1)²

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

(a + 1)((a² - 1)²) = (a + 1)(a - 1)²(a + 1)²

Таким образом, окончательно мы получаем:

a⁵ + a⁴ - 2a³ - 2a² + a + 1 = (a + 1)²(a - 1)²(a + 1)

Итак, итоговые разложения на множители:

• 1 - (8a - 3)² = (4 - 8a)(8a - 2)
• a⁵ + a⁴ - 2a³ - 2a² + a + 1 = (a + 1)²(a - 1)²