Разложение на множители - это важная тема в алгебре, которая поможет упростить выражения и решить уравнения. Давайте разберем каждое из предложенных выражений по шагам.

Это выражение представляет собой разность квадратов, так как можно записать его в виде:

• 4x^2y^2 = (2xy)^2
• 9a^4 = (3a^2)^2

Теперь мы можем использовать формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Подставим наши значения:

• a = 2xy
• b = 3a^2

Таким образом, разложение будет:

(2xy - 3a^2)(2xy + 3a^2)

Сначала упростим вторую часть выражения:

(a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9

Теперь подставим это обратно в выражение:

25a^2 - (a^2 + 6a + 9) = 25a^2 - a^2 - 6a - 9 = 24a^2 - 6a - 9

Теперь мы можем заметить, что 24a^2 - 6a - 9 можно разложить на множители. Для этого вынесем общий множитель 3:

3(8a^2 - 2a - 3)

Теперь попробуем разложить 8a^2 - 2a - 3. Мы ищем два числа, произведение которых равно 8 * (-3) = -24, а сумма равна -2. Это числа -6 и 4:

8a^2 - 6a + 4a - 3 = 2a(4a - 3) + 1(4a - 3) = (4a - 3)(2a + 1)

Таким образом, окончательное разложение будет:

3(4a - 3)(2a + 1)

Это выражение представляет собой сумму кубов, которую можно разложить по формуле: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). Здесь:

• a = 3m (так как 27 = 3^3)
• b = n

Теперь подставим эти значения в формулу:

(3m + n)((3m)^2 - 3mn + n^2) = (3m + n)(9m^2 - 3mn + n^2)

Таким образом, разложения на множители для ваших выражений выглядят следующим образом:

• 4x^2y^2 - 9a^4 = (2xy - 3a^2)(2xy + 3a^2)
• 25a^2 - (a + 3)^2 = 3(4a - 3)(2a + 1)
• 27m^3 + n^3 = (3m + n)(9m^2 - 3mn + n^2)