Как разложить на множители следующие выражения:

1. a^2b - 2b + ab^2 - 2a
2. x - y - 3x^2 + 3y^2
3. a - 3b + 9b^2 - a^2
4. x^2y - x^2 - xy + x^3
5. a^2 - 9b^2 + 18bc - 9c^2
6. 3a^2 + 12b^2 + 12ab - 12
7. x^3y^2 - xy - x^3 + x
8. a^2b - ab^2 - ac + ab + bc - c
9. by^2 + 4by - cy^2 - 4cy - 4c + 4b

Как доказать следующее тождество:

4a^2b^2(a^2 + b^2) - (a^2 + b^2)^3 = (b^2 - a^2)(a^4 - b^4)

Помогите, пожалуйста...!

Алгебра 8 класс Разложение на множители разложение на множители алгебра 8 класс алгебраические выражения тождество помощь по алгебре математические задачи алгоритм разложения примеры разложения алгебраические тождества решение задач по алгебре Новый

Давайте разберем, как разложить на множители каждое из предложенных выражений. Мы будем использовать различные методы, такие как группировка, выделение общего множителя и применение формул сокращенного умножения.

1. a^2b - 2b + ab^2 - 2a

Сначала сгруппируем слагаемые:

• (a^2b + ab^2) + (-2b - 2a)

Теперь вынесем общий множитель:

• b(a^2 + ab) - 2(b + a)

Теперь заметим, что a^2 + ab = a(a + b), и подставим это:

• b(a(a + b)) - 2(b + a)

Таким образом, окончательный ответ:

ab(a + b) - 2(b + a)

2. x - y - 3x^2 + 3y^2

Сгруппируем слагаемые:

• (-3x^2 + x) + (3y^2 - y)

Теперь вынесем общий множитель:

• x(-3x + 1) + y(3y - 1)

Это не позволяет нам разложить дальше, поэтому оставим так.

Ответ: -3x^2 + x + 3y^2 - y

3. a - 3b + 9b^2 - a^2

Сгруппируем:

• (-a^2 + a) + (9b^2 - 3b)

Вынесем общий множитель:

• -a(a - 1) + 3b(3b - 1)

Таким образом, окончательный ответ:

-a(a - 1) + 3b(3b - 1)

4. x^2y - x^2 - xy + x^3

Сгруппируем:

• (x^2y - xy) + (x^3 - x^2)

Вынесем общий множитель:

• xy(x - 1) + x^2(x - 1)

Теперь можно вынести общий множитель (x - 1):

• (xy + x^2)(x - 1)

Ответ: (xy + x^2)(x - 1)

5. a^2 - 9b^2 + 18bc - 9c^2

Это выражение можно переписать как:

• a^2 - (9b^2 - 18bc + 9c^2)

Теперь заметим, что 9b^2 - 18bc + 9c^2 = (3b - 3c)^2:

• a^2 - (3b - 3c)^2

Это разность квадратов:

• (a - (3b - 3c))(a + (3b - 3c))

Ответ: (a - 3b + 3c)(a + 3b - 3c)

6. 3a^2 + 12b^2 + 12ab - 12

Сначала вынесем общий множитель 3:

• 3(a^2 + 4b^2 + 4ab - 4)

Теперь у нас есть квадратный трёхчлен:

• 3((a + 2b)^2 - 4)

Это разность квадратов:

• 3((a + 2b - 2)(a + 2b + 2))

Ответ: 3(a + 2b - 2)(a + 2b + 2)

7. x^3y^2 - xy - x^3 + x

Сгруппируем:

• (x^3y^2 - x^3) + (-xy + x)

Вынесем общий множитель:

• x^3(y^2 - 1) - x(y - 1)

Теперь заметим, что (y^2 - 1) = (y - 1)(y + 1):

• x^3(y - 1)(y + 1) - x(y - 1)

Вынесем (y - 1):

• (y - 1)(x^3(y + 1) - x)

Ответ: (y - 1)(x^3(y + 1) - x)

8. a^2b - ab^2 - ac + ab + bc - c

Сначала сгруппируем слагаемые:

• (a^2b - ab^2) + (-ac + ab) + (bc - c)

Вынесем общий множитель:

• ab(a - b) + a(b - c) + c(b - 1)

Ответ: ab(a - b) + a(b - c) + c(b - 1)

9. by^2 + 4by - cy^2 - 4cy - 4c + 4b

Сначала сгруппируем:

• (by^2 - cy^2) + (4by - 4cy) + (4b - 4c)

Вынесем общий множитель:

• (b - c)y^2 + 4(b - c)y + 4(b - c)

Теперь можем вынести (b - c):

• (b - c)(y^2 + 4y + 4)

Заметим, что y^2 + 4y + 4 = (y + 2)^2:

Ответ: (b - c)(y + 2)^2

Теперь давайте докажем тождество:

4a^2b^2(a^2 + b^2) - (a^2 + b^2)^3 = (b^2 - a^2)(a^4 - b^4).

Сначала раскроем левую часть:

• 4a^2b^2(a^2 + b^2) - (a^2 + b^2)(a^2 + b^2)(a^2 + b^2)

Теперь мы видим, что (a^2 + b^2) является общим множителем:

• (a^2 + b^2)(4a^2b^2 - (a^2 + b^2)^2)

Теперь раскроем квадрат:

• 4a^2b^2 - (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) = 4a^2b^2 - a^4 - 2a^2b^2 - b^4

Упрощаем:

• 2a^2b^2 - a^4 - b^4 = -(a^4 - 2a^2b^2 + b^4) = -(a^2 - b^2)^2.

Теперь подставим это в тождество:

• (a^2 + b^2)(-(a^2 - b^2)^2) = - (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (b^2 - a^2)(a^4 - b^4).

Таким образом, тождество доказано.