Давайте разберем, как разложить на множители каждое из предложенных выражений. Мы будем использовать различные методы, такие как группировка, выделение общего множителя и применение формул сокращенного умножения.

Сначала сгруппируем слагаемые:

• (a^2b + ab^2) + (-2b - 2a)

Теперь вынесем общий множитель:

• b(a^2 + ab) - 2(b + a)

Теперь заметим, что a^2 + ab = a(a + b),и подставим это:

• b(a(a + b)) - 2(b + a)

Таким образом, окончательный ответ:

Сгруппируем слагаемые:

• (-3x^2 + x) + (3y^2 - y)

Теперь вынесем общий множитель:

• x(-3x + 1) + y(3y - 1)

Это не позволяет нам разложить дальше, поэтому оставим так.

Сгруппируем:

• (-a^2 + a) + (9b^2 - 3b)

Вынесем общий множитель:

• -a(a - 1) + 3b(3b - 1)

Таким образом, окончательный ответ:

Сгруппируем:

• (x^2y - xy) + (x^3 - x^2)

Вынесем общий множитель:

• xy(x - 1) + x^2(x - 1)

Теперь можно вынести общий множитель (x - 1):

• (xy + x^2)(x - 1)

Это выражение можно переписать как:

• a^2 - (9b^2 - 18bc + 9c^2)

Теперь заметим, что 9b^2 - 18bc + 9c^2 = (3b - 3c)^2:

• a^2 - (3b - 3c)^2

Это разность квадратов:

• (a - (3b - 3c))(a + (3b - 3c))

Сначала вынесем общий множитель 3:

• 3(a^2 + 4b^2 + 4ab - 4)

Теперь у нас есть квадратный трёхчлен:

• 3((a + 2b)^2 - 4)

Это разность квадратов:

• 3((a + 2b - 2)(a + 2b + 2))

Сгруппируем:

• (x^3y^2 - x^3) + (-xy + x)

Вынесем общий множитель:

• x^3(y^2 - 1) - x(y - 1)

Теперь заметим, что (y^2 - 1) = (y - 1)(y + 1):

• x^3(y - 1)(y + 1) - x(y - 1)

Вынесем (y - 1):

• (y - 1)(x^3(y + 1) - x)

Сначала сгруппируем слагаемые:

• (a^2b - ab^2) + (-ac + ab) + (bc - c)

Вынесем общий множитель:

• ab(a - b) + a(b - c) + c(b - 1)

Сначала сгруппируем:

• (by^2 - cy^2) + (4by - 4cy) + (4b - 4c)

Вынесем общий множитель:

• (b - c)y^2 + 4(b - c)y + 4(b - c)

Теперь можем вынести (b - c):

• (b - c)(y^2 + 4y + 4)

Заметим, что y^2 + 4y + 4 = (y + 2)^2:

4a^2b^2(a^2 + b^2) - (a^2 + b^2)^3 = (b^2 - a^2)(a^4 - b^4).

Сначала раскроем левую часть:

• 4a^2b^2(a^2 + b^2) - (a^2 + b^2)(a^2 + b^2)(a^2 + b^2)

Теперь мы видим, что (a^2 + b^2) является общим множителем:

• (a^2 + b^2)(4a^2b^2 - (a^2 + b^2)^2)

Теперь раскроем квадрат:

• 4a^2b^2 - (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) = 4a^2b^2 - a^4 - 2a^2b^2 - b^4

Упрощаем:

• 2a^2b^2 - a^4 - b^4 = -(a^4 - 2a^2b^2 + b^4) = -(a^2 - b^2)^2.

Теперь подставим это в тождество:

• (a^2 + b^2)(-(a^2 - b^2)^2) = - (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (b^2 - a^2)(a^4 - b^4).

Таким образом, тождество доказано.