Как разложить на множители следующие выражения?

1. (x+y)^2 - z^2 + x + y + z;
2. a^4 - a^3b + ab^3 - b^4.

Алгебра 8 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители алгебра 8 класс выражения примеры учебник задачи математика факторизация Новый

Разложение на множители - это важный процесс в алгебре, который позволяет упростить выражения и решить уравнения. Давайте разберем оба выражения по очереди.

1. Разложение выражения (x+y)^2 - z^2 + x + y + z:

Первым делом, упростим данное выражение. Мы видим, что (x+y)^2 - z^2 - это разность квадратов, которую можно разложить по формуле:

• (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b).

В нашем случае:

• a = (x+y),
• b = z.

Таким образом, мы можем записать:

• (x+y)^2 - z^2 = ((x+y) - z)((x+y) + z).

Теперь подставим это в наше выражение:

• ((x+y) - z)((x+y) + z) + x + y + z.

Теперь упростим вторую часть выражения. Мы можем заметить, что x + y + z можно сгруппировать с первой частью:

• (((x+y) - z)((x+y) + z)) + (x + y + z).

Теперь, если мы обозначим (x + y) как A, то у нас получится:

• (A - z)(A + z) + A + z.

Это выражение можно упростить, но для краткости остановимся на том, что его можно оставить в разложенном виде:

• ((x+y) - z)((x+y) + z) + x + y + z.

2. Разложение выражения a^4 - a^3b + ab^3 - b^4:

Для второго выражения сначала сгруппируем его:

• (a^4 - a^3b) + (ab^3 - b^4).

Теперь в каждой группе можно вынести общий множитель:

• a^3(a - b) + b^3(a - b).

Теперь мы видим, что (a - b) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

• (a - b)(a^3 + b^3).

Теперь вспомним, что a^3 + b^3 можно разложить по формуле:

• a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).

Таким образом, мы можем записать:

• (a - b)((a + b)(a^2 - ab + b^2)).

В итоге, окончательное разложение второго выражения будет:

• (a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2).

Таким образом, мы разложили оба выражения на множители. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!