Чтобы разложить на множители выражение xy^2 + x^2y - x^3 - y^3, следуем пошагово:

1. Группировка членов: Для начала сгруппируем члены так, чтобы выделить общие множители. Мы можем сгруппировать их следующим образом:
• (xy^2 + x^2y) + (-x^3 - y^3)
2. В каждой группе выделяем общий множитель: В первой группе xy^2 + x^2y общий множитель - это xy. Во второй группе -x^3 - y^3 можно выделить -1 как общий множитель:
• xy(y + x) - (x^3 + y^3)
3. Обратите внимание на вторую группу: Мы видим, что x^3 + y^3 можно раскладывать по формуле суммы кубов. Формула выглядит так: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). В нашем случае a = x, b = y:
• x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)
4. Подставляем обратно в выражение: Теперь подставим полученное разложение во вторую группу:
• xy(y + x) - (x + y)(x^2 - xy + y^2)
5. Общая часть: Мы видим, что (y + x) или (x + y) является общим множителем для обеих частей. Вынесем его за скобки:
• (x + y)(xy - (x^2 - xy + y^2))
6. Упрощение второй части: Теперь упростим выражение в скобках:
• xy - x^2 + xy - y^2 = 2xy - x^2 - y^2
7. Итак, окончательное разложение: Мы можем записать окончательное разложение на множители:
• (x + y)(2xy - x^2 - y^2)

Таким образом, окончательный ответ: (x + y)(2xy - x^2 - y^2).