Как разложить на множители выражения 2а^3-16б^3 и m^5-8m^3n+16mn^2?

Алгебра 8 класс Разложение на множители разложение на множители алгебра 8 класс выражения 2а^3-16б^3 выражения m^5-8m^3n+16mn^2 алгебраические выражения Новый

Чтобы разложить на множители данные выражения, давайте рассмотрим каждое из них по отдельности.

1. Разложение выражения 2a^3 - 16b^3:

• Первым шагом заметим, что в данном выражении можно вынести общий множитель. Оба члена делятся на 2:

2a^3 - 16b^3 = 2(a^3 - 8b^3)

• Теперь мы видим, что a^3 - 8b^3 является разностью кубов. Формула разности кубов выглядит так:

x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

• В нашем случае x = a и y = 2b (поскольку 8b^3 = (2b)^3). Подставляем в формулу:

a^3 - (2b)^3 = (a - 2b)(a^2 + a(2b) + (2b)^2)

• Теперь подставим это обратно в выражение:

2(a^3 - 8b^3) = 2(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)

Итак, окончательное разложение на множители: 2(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)

2. Разложение выражения m^5 - 8m^3n + 16mn^2:

• В этом выражении можно также найти общий множитель. Заметим, что все члены делятся на m:

m^5 - 8m^3n + 16mn^2 = m(m^4 - 8m^2n + 16n^2)

• Теперь нужно разложить квадратный трехчлен m^4 - 8m^2n + 16n^2. Это выражение является квадратом двучлена:

(m^2 - 4n)^2 = m^4 - 8m^2n + 16n^2

• Подставляем это обратно в выражение:

m(m^4 - 8m^2n + 16n^2) = m(m^2 - 4n)^2

Итак, окончательное разложение на множители: m(m^2 - 4n)^2

В итоге, мы получили:

• Для 2a^3 - 16b^3: 2(a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2)
• Для m^5 - 8m^3n + 16mn^2: m(m^2 - 4n)^2