Как решить уравнение: (х-2)^4 - (х-2)^2 - 6 = 0?

Пожалуйста, предоставьте полное решение!

Алгебра 8 класс Уравнения с переменной в степени решение уравнения алгебра 8 класс (х-2)^4 (Х-2)^2 метод подстановки квадратное уравнение алгебраические выражения примеры решений математические задачи уравнения с переменной Новый

Для решения уравнения (х-2)^4 - (х-2)^2 - 6 = 0, давайте начнем с упрощения уравнения. Мы заметим, что в уравнении присутствует выражение (х-2), которое повторяется. Это позволяет нам сделать замену переменной.

Шаг 1: Замена переменной

Пусть y = (х-2)^2. Тогда (х-2)^4 можно выразить как y^2. Теперь наше уравнение примет следующий вид:

y^2 - y - 6 = 0

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Теперь мы имеем стандартное квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -1, c = -6.

• Сначала найдем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25.

Теперь подставим значения в формулу:

• y1 = (1 + √25) / 2 = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3.
• y2 = (1 - √25) / 2 = (1 - 5) / 2 = -4 / 2 = -2.

Итак, мы получили два значения для y:

• y1 = 3,
• y2 = -2.

Шаг 3: Обратная замена

Теперь вернемся к переменной x:

• Для y1 = 3: (х-2)^2 = 3.
• Извлекаем корень: х-2 = ±√3.
• Таким образом, х = 2 ± √3.

• Для y2 = -2: (х-2)^2 = -2.
• Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных решений.

Шаг 4: Итоговые решения

Таким образом, у нас есть два действительных корня:

• х1 = 2 + √3,
• х2 = 2 - √3.

Это и есть окончательные решения данного уравнения.