Для решения уравнения X⁶ - 12X⁴ + 48X² - 64 = 0, мы можем использовать замену переменной, чтобы упростить уравнение. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Замена переменной: Обозначим Y = X². Тогда X⁴ = Y², а X⁶ = Y³. Подставим это в уравнение:
• Y³ - 12Y² + 48Y - 64 = 0
2. Решение кубического уравнения: Теперь у нас есть кубическое уравнение. Мы можем попробовать найти его корни. Для этого воспользуемся методом подбора:
• Проверим, является ли Y = 4 корнем уравнения:
• 4³ - 12 * 4² + 48 * 4 - 64 = 64 - 192 + 192 - 64 = 0.
• Таким образом, Y = 4 является корнем уравнения.
3. Деление на (Y - 4): Теперь мы можем разделить наше кубическое уравнение на (Y - 4) с помощью деления многочленов или синтетического деления:
• Y³ - 12Y² + 48Y - 64 = (Y - 4)(Y² - 8Y + 16).
4. Решение квадратного уравнения: Теперь решим квадратное уравнение Y² - 8Y + 16 = 0. Это уравнение можно решить по формуле или заметить, что оно является полным квадратом:
• (Y - 4)² = 0.
• Таким образом, Y = 4 является двойным корнем.
5. Обратная замена: Теперь вспомним, что мы заменили Y = X². Подставим обратно:
• X² = 4.
• Следовательно, X = ±2.

Ответ: Уравнение X⁶ - 12X⁴ + 48X² - 64 = 0 имеет два корня: X = 2 и X = -2.