Давайте разберемся с задачей. Нам нужно найти натуральное число N, которое состоит из k девяток (то есть выглядит как 999...9, где 9 повторяется k раз) и в k раз больше суммы своих цифр.

Сначала найдем сумму цифр числа N. Если N состоит из k девяток, то сумма его цифр будет равна:

• 9 * k

Теперь, по условию задачи, мы знаем, что число N должно быть в k раз больше суммы своих цифр:

• N = k * (сумма цифр)

Подставим сумму цифр в это уравнение:

• N = k * (9 * k) = 9k^2

Но также мы можем выразить N в другом виде. Число N, состоящее из k девяток, можно записать как:

• N = 10^k - 1

Теперь у нас есть два выражения для N:

• 10^k - 1 = 9k^2

Теперь решим это уравнение для различных значений k.

1. k = 1:
• 10^1 - 1 = 9 * 1^2
• 9 = 9, уравнение верно.
• Пример числа: 9.
2. k = 2:
• 10^2 - 1 = 9 * 2^2
• 99 = 36, уравнение не верно.
3. k = 3:
• 10^3 - 1 = 9 * 3^2
• 999 = 81, уравнение не верно.
4. k = 4:
• 10^4 - 1 = 9 * 4^2
• 9999 = 144, уравнение не верно.
5. k = 5:
• 10^5 - 1 = 9 * 5^2
• 99999 = 225, уравнение не верно.
6. k = 6:
• 10^6 - 1 = 9 * 6^2
• 999999 = 324, уравнение не верно.
7. k = 7:
• 10^7 - 1 = 9 * 7^2
• 9999999 = 441, уравнение не верно.
8. k = 8:
• 10^8 - 1 = 9 * 8^2
• 99999999 = 576, уравнение не верно.
9. k = 9:
• 10^9 - 1 = 9 * 9^2
• 999999999 = 729, уравнение не верно.
10. k = 10:
• 10^10 - 1 = 9 * 10^2
• 9999999999 = 900, уравнение не верно.

Таким образом, единственное значение k, при котором выполняется условие задачи, это k = 1. Пример числа для этого k: 9.