Чтобы решить уравнение (x^2 + 3x + 1) + (x^2 + 4x + 1) + ... + (x^2 + 17x + 1) = 0, давайте сначала упростим левую часть уравнения.

Все слагаемые имеют общий вид x^2 + kx + 1, где k принимает значения от 3 до 17. Мы можем выделить общий член x^2 и 1, а затем сложить коэффициенты при x.

• Слагаемые начинаются с k = 3 и заканчиваются на k = 17.
• Количество слагаемых: 17 - 3 + 1 = 15.

• Коэффициенты: 3, 4, 5, ..., 17.
• Сумма этих коэффициентов равна: (3 + 4 + 5 + ... + 17).
• Эта сумма является арифметической прогрессией, где первый член a1 = 3, последний член an = 17, количество членов n = 15.
• Сумма S = n/2 * (a1 + an) = 15/2 * (3 + 17) = 15/2 * 20 = 15 * 10 = 150.

Теперь мы можем записать уравнение в следующем виде:

15x^2 + 150x + 15 = 0.

Мы можем разделить все коэффициенты на 15:

x^2 + 10x + 1 = 0.

Для решения уравнения x^2 + 10x + 1 = 0 используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 10, c = 1.

• Находим дискриминант: D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 1 * 1 = 100 - 4 = 96.
• Корни уравнения: x = (-10 ± √96) / 2.
• √96 = √(16 * 6) = 4√6.
• Таким образом, x = (-10 ± 4√6) / 2.

• x1 = (-10 + 4√6) / 2 = -5 + 2√6.
• x2 = (-10 - 4√6) / 2 = -5 - 2√6.

Таким образом, у уравнения есть два корня: x1 = -5 + 2√6 и x2 = -5 - 2√6.

Эти значения x решают данное уравнение.