Какова исходная дробь, если числитель на 2 меньше знаменателя, и при сложении этой дроби с её обратной дробью получается 130/63? Решите задачу с помощью квадратного уравнения!

Алгебра 8 класс Квадратные уравнения алгебра 8 класс дробь числитель и знаменатель обратная дробь квадратное уравнение решение задачи Новый

Для решения данной задачи начнем с обозначения исходной дроби. Пусть x — это знаменатель дроби, тогда числитель будет x - 2, так как он на 2 меньше знаменателя. Таким образом, наша дробь будет выглядеть как:

(x - 2) / x

Теперь найдем обратную дробь. Обратная дробь к (x - 2) / x будет:

x / (x - 2)

Теперь сложим нашу дробь с её обратной дробью:

(x - 2) / x + x / (x - 2)

Чтобы сложить эти дроби, найдем общий знаменатель, который будет равен x * (x - 2). Теперь можем записать сумму:

1. Первая дробь: (x - 2)(x - 2) (умножаем числитель на знаменатель второй дроби).
2. Вторая дробь: x * x (умножаем числитель на знаменатель первой дроби).

Теперь запишем сумму:

((x - 2)(x - 2) + x * x) / (x * (x - 2))

Упрощаем числитель:

(x^2 - 4x + 4 + x^2) = (2x^2 - 4x + 4)

Теперь у нас есть:

(2x^2 - 4x + 4) / (x * (x - 2)) = 130 / 63

Теперь мы можем решить это уравнение. Умножим обе стороны на 63 * x * (x - 2), чтобы избавиться от дробей:

63(2x^2 - 4x + 4) = 130x(x - 2)

Раскроем скобки:

126x^2 - 252x + 252 = 130x^2 - 260x

Теперь перенесем все в одну сторону уравнения:

126x^2 - 130x^2 + 260x - 252x + 252 = 0

Упростим уравнение:

-4x^2 + 8x + 252 = 0

Умножим на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

4x^2 - 8x - 252 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Используем формулу для решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 4, b = -8, c = -252.

Сначала найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 4 * (-252) = 64 + 4032 = 4096

Теперь найдем корни:

x = (8 ± √4096) / 8

Корень из 4096 равен 64, поэтому:

x = (8 ± 64) / 8

Теперь найдем два значения:

1. x1 = (8 + 64) / 8 = 72 / 8 = 9
2. x2 = (8 - 64) / 8 = -56 / 8 = -7

Так как знаменатель не может быть отрицательным, принимаем x = 9.

Теперь подставим значение x в числитель:

Числитель = x - 2 = 9 - 2 = 7

Таким образом, исходная дробь:

7 / 9