Какова площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 17 см, а один из катетов на 7 см меньше другого?

Алгебра 8 класс Площадь треугольника площадь прямоугольного треугольника гипотенуза 17 см катеты алгебра 8 класс задачи по геометрии формула площади треугольника решение задач математические проблемы свойства треугольников алгебраические уравнения Новый

Для нахождения площади прямоугольного треугольника, нам сначала нужно определить длины его катетов. Обозначим один катет как х см, тогда второй катет будет равен (х - 7) см, так как он на 7 см меньше первого.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Мы знаем, что гипотенуза равна 17 см. Запишем уравнение:

1. 17^2 = х^2 + (х - 7)^2

Теперь подставим значения:

1. 289 = х^2 + (х^2 - 14х + 49)

Объединим подобные члены:

1. 289 = 2х^2 - 14х + 49

Теперь перенесем все на одну сторону уравнения:

1. 2х^2 - 14х + 49 - 289 = 0
2. 2х^2 - 14х - 240 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

• Д = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 * 2 * (-240)
• Д = 196 + 1920 = 2116

Теперь найдем корни уравнения, используя формулу:

1. х = (−b ± √Д) / (2a)
2. х = (14 ± √2116) / 4

Вычислим корни:

1. х = (14 + 46) / 4 = 15 см (положительный корень)
2. х = (14 - 46) / 4 = -8 см (отрицательный корень, отбрасываем)

Итак, один катет равен 15 см, а второй катет равен:

1. 15 - 7 = 8 см

Теперь мы можем найти площадь прямоугольного треугольника по формуле:

1. Площадь = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 15 * 8

Вычислим площадь:

1. Площадь = (1/2) * 120 = 60 см²

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника составляет 60 см². Мы также можем проверить правильность наших расчетов, используя теорему Пифагора:

1. 17^2 = 15^2 + 8^2
2. 289 = 225 + 64
3. 289 = 289 (равенство верно)

Это подтверждает, что наши значения катетов и гипотенузы корректны.