Чтобы найти области определения данных функций, нам нужно определить, при каких значениях переменной x эти функции имеют смысл. Рассмотрим каждую функцию по порядку.

Функция определена для всех значений x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Поэтому нам нужно решить уравнение:

• 1 - 4x = 0

Решим это уравнение:

• 4x = 1
• x = 1/4

Таким образом, функция y = 4/(1 - 4x) не определена при x = 1/4. Следовательно, область определения этой функции:

• x ∈ R, x ≠ 1/4

Чтобы функция была определена, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Рассмотрим каждое подкоренное выражение:

• 2x + 10 ≥ 0
• 6 - 3x ≥ 0

Решим первое неравенство:

• 2x ≥ -10
• x ≥ -5

Теперь решим второе неравенство:

• 6 ≥ 3x
• 2 ≥ x

Теперь объединим оба условия:

• -5 ≤ x ≤ 2

Таким образом, область определения функции y = √(2x + 10) + √(6 - 3x):

• x ∈ [-5, 2]

Здесь функция определена, если знаменатель не равен нулю и подкоренное выражение положительно. Поэтому нам нужно решить неравенство:

• 3x² + 7x - 6 > 0

Сначала найдем корни уравнения 3x² + 7x - 6 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = 7² - 4 * 3 * (-6) = 49 + 72 = 121
• x1 = (-b + √D) / (2a) = (-7 + 11) / 6 = 2/3
• x2 = (-b - √D) / (2a) = (-7 - 11) / 6 = -3

Теперь у нас есть корни x1 = 2/3 и x2 = -3. Чтобы определить, где выражение положительно, мы можем использовать тестовые точки:

• Для x < -3 (например, x = -4): 3(-4)² + 7(-4) - 6 = 48 - 28 - 6 = 14 > 0
• Для -3 < x < 2/3 (например, x = 0): 3(0)² + 7(0) - 6 = -6 < 0
• Для x > 2/3 (например, x = 1): 3(1)² + 7(1) - 6 = 3 + 7 - 6 = 4 > 0

Таким образом, функция определена на интервалах:

• x < -3 и x > 2/3

Следовательно, область определения функции y = 2/√(3x² + 7x - 6):

• x ∈ (-∞, -3) ∪ (2/3, +∞)