Нужна помощь!

Как решить уравнение log3(x-2) + log3(x+6) = 2?

Алгебра 8 класс Логарифмы уравнение логарифмы решение уравнения алгебра 8 класс log3 x-2 x+6 математическая помощь Новый

Давайте решим уравнение log3(x-2) + log3(x+6) = 2 шаг за шагом.

1. Используем свойства логарифмов. Мы знаем, что сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения. Таким образом, мы можем переписать уравнение:

• log3((x-2)(x+6)) = 2

2. Переведем логарифмическое уравнение в экспоненциальную форму. Если log3(a) = b, то a = 3^b. Применим это к нашему уравнению:

• (x-2)(x+6) = 3^2
• (x-2)(x+6) = 9

3. Раскроем скобки. Умножим (x-2) и (x+6):

• x^2 + 6x - 2x - 12 = 9
• x^2 + 4x - 12 = 9

4. Переносим все члены в одну сторону уравнения. Выразим уравнение в стандартной форме:

• x^2 + 4x - 12 - 9 = 0
• x^2 + 4x - 21 = 0

5. Решаем квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

• D = b^2 - 4ac
• D = 4^2 - 4*1*(-21) = 16 + 84 = 100

6. Находим корни уравнения. Корни находятся по формуле:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a)
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a)

• x1 = (-4 + 10) / 2 = 6 / 2 = 3
• x2 = (-4 - 10) / 2 = -14 / 2 = -7

7. Проверяем найденные корни на допустимость. Поскольку в логарифме аргумент должен быть положительным, подставим найденные значения:

• Для x1 = 3: x-2 = 1 (положительно), x+6 = 9 (положительно) - подходит.
• Для x2 = -7: x-2 = -9 (отрицательно), x+6 = -1 (отрицательно) - не подходит.

Таким образом, единственным решением уравнения является x = 3.