Помогите, пожалуйста, решить уравнение: log2(x+1) = 1 + log2(3) - log2(x)?

Алгебра 8 класс Логарифмы алгебра 8 класс решение уравнения логарифмы log2 математические уравнения Помощь с алгеброй решение логарифмических уравнений

Чтобы решить уравнение log2(x+1) = 1 + log2(3) - log2(x), следуем следующим шагам:

1. Перепишем правую часть: 1 = log2(2), тогда уравнение становится:
2. log2(x+1) = log2(2) + log2(3) - log2(x)
3. Используем свойства логарифмов: log2(x+1) = log2(2 * 3 / x)
4. Теперь приравняем аргументы логарифмов:
5. x + 1 = 6 / x
6. Умножим обе стороны на x:
7. x^2 + x - 6 = 0
8. Решаем квадратное уравнение:
9. (x - 2)(x + 3) = 0
10. Получаем x = 2 или x = -3.
11. Проверяем, что x > 0, так как логарифм определен только для положительных значений:

Ответ: x = 2.

Давайте решим уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение:

log2(x + 1) = 1 + log2(3) - log2(x)

Первым делом, мы можем упростить правую часть уравнения. Напомним, что log(a) - log(b) = log(a/b). Поэтому мы можем переписать правую часть:

1 + log2(3) - log2(x) = log2(2) + log2(3) - log2(x)

Теперь воспользуемся свойством логарифмов, чтобы объединить логарифмы:

log2(2) + log2(3) = log2(2 * 3) = log2(6)

Таким образом, мы можем переписать правую часть уравнения:

log2(6) - log2(x) = log2(6/x)

Теперь у нас есть:

log2(x + 1) = log2(6/x)

Поскольку логарифмы равны, мы можем приравнять их аргументы:

x + 1 = 6/x

Теперь умножим обе стороны на x, чтобы избавиться от дроби:

x(x + 1) = 6

Раскроем скобки:

x^2 + x = 6

Переносим все в одну сторону уравнения:

x^2 + x - 6 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = 1, c = -6. Подставим значения:

x = (-1 ± √(1² - 4 * 1 * (-6))) / (2 * 1)

x = (-1 ± √(1 + 24)) / 2

x = (-1 ± √25) / 2

x = (-1 ± 5) / 2

Теперь найдем два возможных значения для x:

• x1 = (-1 + 5) / 2 = 4 / 2 = 2
• x2 = (-1 - 5) / 2 = -6 / 2 = -3

Теперь нам нужно проверить, какие из найденных значений допустимы для логарифмов. Логарифм определен только для положительных аргументов:

• Для x = 2: x + 1 = 3 > 0 и x = 2 > 0. Значит, это значение допустимо.
• Для x = -3: x + 1 = -2 < 0, что недопустимо. Логарифм не может быть отрицательным.

Таким образом, единственным допустимым решением является:

x = 2

Проверим, подставив это значение обратно в исходное уравнение:

log2(2 + 1) = log2(3) + 1 - log2(2)

log2(3) = log2(3), что верно.

Ответ: x = 2.