Помогите решить задачу! Как построить график функции y=x^2+2x+3 и описать его свойства: область определения функции, область значений функции, нули функции, возрастает или убывает, а также значения y больше или меньше 0 и так далее?

Алгебра 8 класс Графики функций график функции y=x^2+2x+3 свойства функции область определения область значений нули функции возрастает убывает значения y алгебра 8 класс Новый

Давайте разберем, как построить график функции y = x^2 + 2x + 3 и описать его свойства.

1. Область определения функции:

Область определения функции y = x^2 + 2x + 3 - это все значения x, для которых функция имеет смысл. Поскольку это квадратная функция, область определения - это все действительные числа:

• Область определения: x ∈ R.

2. Область значений функции:

Чтобы найти область значений, сначала найдем вершину параболы, так как график квадратной функции представляет собой параболу. Вершина параболы находится по формуле:

• x_в = -b/2a, где a = 1, b = 2.

Подставим значения:

• x_в = -2/(2*1) = -1.

Теперь подставим x = -1 в функцию, чтобы найти значение y в вершине:

• y(-1) = (-1)^2 + 2*(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2.

Так как парабола открыта вверх (коэффициент при x^2 положительный), то минимальное значение функции равно 2. Следовательно, область значений:

• Область значений: y ≥ 2.

3. Нули функции:

Нули функции - это значения x, при которых y = 0. Для нахождения нулей решим уравнение:

• x^2 + 2x + 3 = 0.

Для решения этого уравнения используем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*3 = 4 - 12 = -8.

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, нули функции отсутствуют.

4. Возрастает или убывает:

Функция y = x^2 + 2x + 3 является параболой, которая возрастает на интервале (-1, +∞) и убывает на интервале (-∞, -1):

• Убывает на: (-∞, -1).
• Возрастает на: (-1, +∞).

5. Значения y больше или меньше 0:

Как мы уже выяснили, минимальное значение функции равно 2, следовательно, функция всегда положительна:

• y > 0 для всех x ∈ R.

6. Построение графика:

Теперь, когда мы знаем все свойства функции, можем построить график:

1. Нанесите точку вершины (-1, 2).
2. Постройте оси координат.
3. Нарисуйте параболу, открывающуюся вверх, проходящую через вершину и не имеющую пересечений с осью x.

Таким образом, мы построили график функции y = x^2 + 2x + 3 и описали его свойства. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!