Чтобы построить график функции y = x² - 2x - 3, давайте сначала найдем основные характеристики этой функции.

Функция y = x² - 2x - 3 является квадратичной и имеет форму параболы, открытой вверх. Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы. Чтобы найти координаты вершины, используем формулу:

• x_в = -b / (2a), где a = 1, b = -2.

Подставляем значения:

• x_в = -(-2) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1.

Теперь подставим x = 1 в функцию, чтобы найти y:

• y = (1)² - 2*(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -4 и достигается при x = 1.

Чтобы найти значения x, при которых y = 5, решим уравнение:

• x² - 2x - 3 = 5.

Переносим 5 влево:

• x² - 2x - 8 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-2)² - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36.

Теперь находим корни:

• x₁ = (2 + √36) / (2*1) = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4.
• x₂ = (2 - √36) / (2*1) = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2.

Таким образом, значения аргумента, при которых функция равна 5, это x = 4 и x = -2.

Функция y будет меньше нуля, когда:

• x² - 2x - 3 < 0.

Мы уже нашли корни уравнения x² - 2x - 3 = 0, это x = -1 и x = 3. Теперь определим промежутки:

• Функция отрицательна на промежутке (-1, 3).

Функция будет возрастать, когда производная положительна. Для функции y = x² - 2x - 3 производная равна:

• y' = 2x - 2.

Решим неравенство:

• 2x - 2 > 0.

Получаем:

• x > 1.

Таким образом, функция возрастает на промежутке (1, +∞).

В итоге, мы нашли:

• Наименьшее значение функции: -4 при x = 1.
• Значения аргумента, при которых y = 5: x = 4 и x = -2.
• Промежуток, где функция отрицательна: (-1, 3).
• Промежуток возрастания функции: (1, +∞).