Разложите данные выражения на множители:

1. nm^2 + mn + n^2
2. -m^3 - m^2n - mn^2
3. ax^2 + a^2x - ax
4. 3x^3 - 2x^2 - x
5. 3n^6 + 6n^5 - 12n^4
6. -6m^4 - 4m^5 - 2m^6

Алгебра 8 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители алгебра 8 класс выражения на множители задачи по алгебре алгебраические выражения Новый

Давайте разложим каждое из данных выражений на множители шаг за шагом.

1. nm^2 + mn + n^2

• Постараемся сгруппировать одночлены. Мы можем выделить общий множитель:
• nm^2 + mn + n^2 = n(m^2 + m) + n^2 = n(m^2 + m + n).
• Теперь заметим, что m^2 + m = m(m + 1), таким образом:
• n(m^2 + m) + n^2 = n(m(m + 1) + n).

Ответ: n(m(m + 1) + n)

2. -m^3 - m^2n - mn^2

• Выделим общий множитель -m:
• -m(m^2 + mn + n^2).
• Теперь мы уже видели, что m^2 + mn + n^2 не раскладывается на множители.

Ответ: -m(m^2 + mn + n^2)

3. ax^2 + a^2x - ax

• Сначала выделим общий множитель a:
• a(x^2 + ax - x).
• Теперь у нас есть квадратный трёхчлен x^2 + ax - x, который можно разложить:
• ax^2 + a^2x - ax = a(x(x + a - 1)).

Ответ: a(x(x + a - 1))

4. 3x^3 - 2x^2 - x

• Выделим общий множитель x:
• x(3x^2 - 2x - 1).
• Теперь разложим квадратный трёхчлен 3x^2 - 2x - 1:
• Ищем два числа, произведение которых равно -3 и сумма равна -2, это -3 и 1:
• 3x^2 - 3x + x - 1 = 3x(x - 1) + 1(x - 1) = (3x + 1)(x - 1).

Ответ: x(3x + 1)(x - 1)

5. 3n^6 + 6n^5 - 12n^4

• Выделяем общий множитель 3n^4:
• 3n^4(n^2 + 2n - 4).
• Теперь разложим квадратный трёхчлен n^2 + 2n - 4. Найдем два числа, произведение которых равно -4 и сумма равна 2:
• Это 4 и -1, таким образом:
• n^2 + 2n - 4 = (n + 4)(n - 1).

Ответ: 3n^4(n + 4)(n - 1)

6. -6m^4 - 4m^5 - 2m^6

• Выделим общий множитель -2m^4:
• -2m^4(3 + 2m + m^2).
• Теперь разложим квадратный трёхчлен 3 + 2m + m^2. Это можно записать как m^2 + 2m + 3.
• Этот трёхчлен не имеет действительных корней, поэтому он не раскладывается на множители.

Ответ: -2m^4(m^2 + 2m + 3)

Таким образом, мы разложили все данные выражения на множители!