Разложите на множители следующие выражения:

1. (8a³-27b³)-2a(4a²-9b²)
2. (64a³+125b³)+5b(16a²-25b²)
3. (a³+b³)+(a+b)²
4. (a³-b³)+(a-b)²

Алгебра 8 класс Разложение на множители разложение на множители алгебра 8 класс выражения задачи по алгебре множители кубы формулы примеры учебные материалы математика алгебраические выражения Новый

Давайте разложим на множители каждое из данных выражений, шаг за шагом. Я постараюсь объяснить все подробно, чтобы вы могли понять процесс.

1) (8a³ - 27b³) - 2a(4a² - 9b²)

• Первое, что мы видим, это разность кубов 8a³ и 27b³. Она может быть разложена по формуле a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). В нашем случае a = 2a и b = 3b, поэтому:
• (8a³ - 27b³) = (2a - 3b)(4a² + 6ab + 9b²).
• Теперь разберёмся со второй частью выражения: -2a(4a² - 9b²). Здесь 4a² - 9b² можно представить как разность квадратов, которая раскладывается по формуле a² - b² = (a - b)(a + b). В нашем случае a = 2a и b = 3b, поэтому:
• -2a(4a² - 9b²) = -2a(2a - 3b)(2a + 3b).
• Теперь подставим это обратно в первое выражение:
• (2a - 3b)(4a² + 6ab + 9b²) - 2a(2a - 3b)(2a + 3b).
• Теперь вынесем общий множитель (2a - 3b):
• (2a - 3b)(4a² + 6ab + 9b² - 2a(2a + 3b)).
• Теперь упростим выражение в скобках, и в итоге получаем:
• (2a - 3b)(9b²).

2) (64a³ + 125b³) + 5b(16a² - 25b²)

• 64a³ + 125b³ — это сумма кубов, которая раскладывается по формуле a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). Здесь a = 4a и b = 5b, поэтому:
• (64a³ + 125b³) = (4a + 5b)(16a² - 20ab + 25b²).
• Теперь разберёмся со второй частью: 5b(16a² - 25b²) = 5b(4a - 5b)(4a + 5b) (опять же разность квадратов).
• Теперь подставим это обратно:
• (4a + 5b)(16a² - 20ab + 25b²) + 5b(4a - 5b)(4a + 5b).
• Вынесем общий множитель (4a + 5b):
• (4a + 5b)(16a² - 20ab + 25b² + 5b(4a - 5b)).
• Упростив, получаем:
• 16a²(4a + 5b).

3) (a³ + b³) + (a + b)²

• Сначала раскладываем a³ + b³ по формуле: (a + b)(a² - ab + b²).
• Теперь (a + b)² = (a + b)(a + b).
• Теперь объединим оба выражения:
• (a + b)(a² - ab + b² + a + b).
• В итоге мы получаем:
• (a + b)(a² - ab + b² + a + b).

4) (a³ - b³) + (a - b)²

• Аналогично, раскладываем a³ - b³ по формуле: (a - b)(a² + ab + b²).
• Теперь (a - b)² = (a - b)(a - b).
• Соединяем оба выражения:
• (a - b)(a² + ab + b² + a - b).
• В результате получаем:
• (a - b)(a² + ab + b² + a - b).

Таким образом, мы разобрали каждое выражение на множители, применяя формулы разности и суммы кубов, а также разности и суммы квадратов. Надеюсь, это объяснение было для вас полезным!