Разложите на множители следующие выражения:

1. (a+b)²-c²
2. (m-n)²-k²
3. 8a³+1
4. 8a³-27b³-2a(4a²-9b²)
5. (a³+b³)+(a-b)²
6. (a³-b³)+(a-b)²

Пожалуйста, решите эти задачи.

Алгебра 8 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители алгебра 8 класс задачи по алгебре множители выражений алгебраические выражения

Давайте разложим каждое из данных выражений на множители шаг за шагом.

1. (a+b)² - c²

Это выражение можно представить как разность квадратов:

• (a+b)² - c² = [(a+b) - c][(a+b) + c]

Таким образом, разложение будет:

(a+b-c)(a+b+c)

2. (m-n)² - k²

Аналогично, это также разность квадратов:

• (m-n)² - k² = [(m-n) - k][(m-n) + k]

Разложение будет:

(m-n-k)(m-n+k)

3. 8a³ + 1

Это выражение можно представить как сумму кубов:

• 8a³ + 1 = (2a)³ + 1³
• Сумма кубов раскладывается по формуле: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Таким образом, разложение будет:

(2a + 1)((2a)² - (2a)(1) + 1²) = (2a + 1)(4a² - 2a + 1)

4. 8a³ - 27b³ - 2a(4a² - 9b²)

Сначала упростим выражение:

• 8a³ - 27b³ - 2a(4a² - 9b²) = 8a³ - 27b³ - 8a³ + 18ab²
• Это упрощается до: -27b³ + 18ab²

Теперь можем вынести общий множитель:

• -9b²(3b - 2a)

Таким образом, разложение будет:

-9b²(3b - 2a)

5. (a³ + b³) + (a - b)²

Сначала разложим сумму кубов:

• a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Теперь добавим (a - b)²:

• (a - b)² = a² - 2ab + b²

Соберем все вместе:

• (a + b)(a² - ab + b²) + (a² - 2ab + b²)

Упрощая, получаем:

• (a + b)(a² + b² - ab) + (a² - 2ab + b²)

Это сложное выражение, и его проще не разложить, а оставить в таком виде.

6. (a³ - b³) + (a - b)²

Сначала разложим разность кубов:

• a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Теперь добавим (a - b)²:

• (a - b)² = a² - 2ab + b²

Соберем все вместе:

• (a - b)(a² + ab + b²) + (a² - 2ab + b²)

Тут также выражение не упрощается до простого вида, и его лучше оставить в таком виде.

Теперь у нас есть разложенные на множители выражения. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!

Давайте разложим на множители каждое из заданных выражений. Мы будем использовать различные формулы и свойства алгебры для этого.

1. (a+b)² - c²

Это выражение можно рассматривать как разность квадратов. Формула разности квадратов выглядит так: A² - B² = (A - B)(A + B).

В нашем случае A = (a+b) и B = c. Подставим это в формулу:

• (a+b-c)(a+b+c)

2. (m-n)² - k²

Аналогично первому примеру, мы снова имеем разность квадратов:

Здесь A = (m-n) и B = k. Разложим:

• (m-n-k)(m-n+k)

3. 8a³ + 1

Это выражение можно представить как сумму кубов, так как 8a³ = (2a)³ и 1 = 1³. Формула суммы кубов выглядит так: A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²).

Таким образом, A = 2a и B = 1:

• (2a + 1)((2a)² - (2a)(1) + 1²)
• (2a + 1)(4a² - 2a + 1)

4. 8a³ - 27b³ - 2a(4a² - 9b²)

Сначала упростим выражение. Раскроем скобки:

• 8a³ - 27b³ - 8a³ + 18ab²

Теперь у нас осталась только разность кубов:

8a³ - 27b³ = (2a)³ - (3b)³. Разложим его:

• (2a - 3b)((2a)² + (2a)(3b) + (3b)²)
• (2a - 3b)(4a² + 6ab + 9b²)

Теперь, учитывая, что мы убрали 8a³, получаем:

• (2a - 3b)(4a² + 6ab + 9b²) + 18ab²

5. (a³ + b³) + (a - b)²

Сначала разложим сумму кубов:

Сумма кубов: A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²), где A = a и B = b:

• (a + b)(a² - ab + b²)

Теперь добавим (a - b)²:

• (a + b)(a² - ab + b²) + (a - b)(a - b)

6. (a³ - b³) + (a - b)²

Сначала разложим разность кубов:

Разность кубов: A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²), где A = a и B = b:

• (a - b)(a² + ab + b²)

Теперь добавим (a - b)²:

• (a - b)(a² + ab + b²) + (a - b)(a - b)

Объединив, получим:

• (a - b)((a² + ab + b²) + (a - b))

Таким образом, мы разложили все заданные выражения на множители. Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!