Разложите на множители следующие выражения:

1. t в кубе - v в кубе
2. x в кубе - 1/8
3. 8a в девятой степени + 125x в кубе
4. a в шестой степени + c в кубе

Алгебра 8 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители алгебра 8 класс кубические выражения примеры разложения математические задачи Новый

Давайте разложим на множители каждое из предложенных выражений. Я объясню процесс шаг за шагом.

1. t в кубе - v в кубе

Это выражение является разностью кубов. Формула для разности кубов выглядит так:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

В нашем случае:

• a = t
• b = v

Подставляем в формулу:

t^3 - v^3 = (t - v)(t^2 + tv + v^2)

2. x в кубе - 1/8

Это также разность кубов, так как 1/8 = (1/2)^3. Используем ту же формулу:

• a = x
• b = 1/2

Подставляем:

x^3 - (1/2)^3 = (x - 1/2)(x^2 + x(1/2) + (1/2)^2)

Упрощаем:

x^3 - 1/8 = (x - 1/2)(x^2 + (1/2)x + 1/4)

3. 8a в девятой степени + 125x в кубе

Это выражение является суммой кубов. Формула для суммы кубов выглядит так:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

Здесь 8a^9 = (2a^3)^3 и 125x^3 = (5x)^3. Подставляем:

• a = 2a^3
• b = 5x

Теперь применяем формулу:

8a^9 + 125x^3 = (2a^3 + 5x)((2a^3)^2 - (2a^3)(5x) + (5x)^2)

Упрощаем:

8a^9 + 125x^3 = (2a^3 + 5x)(4a^6 - 10a^3x + 25x^2)

4. a в шестой степени + c в кубе

Это также сумма кубов, так как a^6 = (a^2)^3. Используем формулу для суммы кубов:

• a = a^2
• b = c

Подставляем в формулу:

a^6 + c^3 = (a^2 + c)(a^4 - a^2c + c^2)

Теперь у нас есть все разложенные на множители выражения:

• t^3 - v^3 = (t - v)(t^2 + tv + v^2)
• x^3 - 1/8 = (x - 1/2)(x^2 + (1/2)x + 1/4)
• 8a^9 + 125x^3 = (2a^3 + 5x)(4a^6 - 10a^3x + 25x^2)
• a^6 + c^3 = (a^2 + c)(a^4 - a^2c + c^2)