Ребята, кто может помочь решить неравенство: log(x^2 + 10x) > log(x - 14) с основанием логарифмов корень из 2?

Алгебра 8 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифмы решение неравенства алгебра 8 класс log(x^2 + 10x) log(x - 14) основание логарифмов корень из 2 Новый

Давайте решим неравенство log_√2(x² + 10x) > log_√2(x - 14). Для начала, мы можем воспользоваться свойством логарифмов, которое гласит, что если log_a(b) > log_a(c), то b > c, при условии что a > 1 и b, c > 0.

В нашем случае основание логарифма √2 больше 1, поэтому мы можем убрать логарифмы и записать неравенство в более простой форме:

1. x² + 10x > x - 14

Теперь давайте перенесем все члены в одну сторону неравенства:

1. x² + 10x - x + 14 > 0
2. x² + 9x + 14 > 0

Теперь мы можем решить квадратное неравенство x² + 9x + 14 > 0. Для этого сначала найдем корни соответствующего уравнения:

1. Используем дискриминант: D = b² - 4ac, где a = 1, b = 9, c = 14.
2. D = 9² - 4 * 1 * 14 = 81 - 56 = 25.
3. Корни уравнения находятся по формуле: x = (-b ± √D) / 2a.

Теперь подставим значения:

1. x₁ = (-9 + √25) / 2 = (-9 + 5) / 2 = -4 / 2 = -2
2. x₂ = (-9 - √25) / 2 = (-9 - 5) / 2 = -14 / 2 = -7

Теперь у нас есть корни x₁ = -2 и x₂ = -7. Мы можем разложить наш квадратный трёхчлен:

(x + 2)(x + 7) > 0

Теперь определим знаки произведения на интервалах, определяемых корнями:

• Интервал (-∞, -7): оба множителя отрицательные, произведение положительное.
• Интервал (-7, -2): один множитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное.
• Интервал (-2, +∞): оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:

• x < -7
• x > -2

Теперь не забудем о том, что логарифмы определены только при положительных аргументах:

• x² + 10x > 0: x(x + 10) > 0 (корни 0 и -10, следовательно, x < -10 или x > 0).
• x - 14 > 0: x > 14.

Теперь мы можем объединить условия:

Итак, итоговый ответ:

• x < -10 (но не подходит, так как x должен быть больше -7).
• x > 14 (подходит).

Таким образом, окончательный ответ: x > 14.