Давайте решим каждое из данных неравенств методом интервалов. Начнем с первого неравенства:

Сначала приведем неравенство к стандартному виду:

1. Вынесем общий множитель: 4x(x^2 - (25/4)) < 0.
2. Теперь находим корни: 4x = 0 дает x = 0, а x^2 - (25/4) = 0 дает x = ±(5/2).

Таким образом, корни неравенства: x = -5/2, x = 0, x = 5/2. Теперь мы определим интервалы:

• (-∞, -5/2)
• (-5/2, 0)
• (0, 5/2)
• (5/2, +∞)

Теперь проверим знак на каждом интервале:

1. Для интервала (-∞, -5/2): возьмем, например, x = -3. Подставляем: 4(-3)^3 - 25(-3) = -108 + 75 < 0 (знак отрицательный).
2. Для интервала (-5/2, 0): возьмем x = -1. Подставляем: 4(-1)^3 - 25(-1) = -4 + 25 > 0 (знак положительный).
3. Для интервала (0, 5/2): возьмем x = 1. Подставляем: 4(1)^3 - 25(1) = 4 - 25 < 0 (знак отрицательный).
4. Для интервала (5/2, +∞): возьмем x = 3. Подставляем: 4(3)^3 - 25(3) = 108 - 75 > 0 (знак положительный).

Теперь мы можем записать решение: неравенство 4x^3 - 25x < 0 выполняется на интервалах (-∞, -5/2) и (0, 5/2).

Сначала найдем нули числителя и знаменателя:

• Числитель: 5 - x = 0, тогда x = 5.
• Знаменатель: x - 6 = 0, тогда x = 6.

Теперь определим интервалы:

• (-∞, 5)
• (5, 6)
• (6, +∞)

Теперь проверим знак на каждом интервале:

1. Для интервала (-∞, 5): возьмем x = 0. Подставляем: (5 - 0) / (0 - 6) = 5 / -6 < 0 (знак отрицательный).
2. Для интервала (5, 6): возьмем x = 5.5. Подставляем: (5 - 5.5) / (5.5 - 6) = -0.5 / -0.5 > 0 (знак положительный).
3. Для интервала (6, +∞): возьмем x = 7. Подставляем: (5 - 7) / (7 - 6) = -2 / 1 < 0 (знак отрицательный).

Теперь учитываем, что 5 является нулем числителя, а 6 - нулем знаменателя, который не может быть равен нулю. Таким образом, решение: x ∈ [5, 6).

Здесь у нас есть корни: x - 1 = 0 дает x = 1 (двойной корень) и x - 2 = 0 дает x = 2 (одинарный корень).

Определим интервалы:

• (-∞, 1)
• (1, 2)
• (2, +∞)

Теперь проверим знак на каждом интервале:

1. Для интервала (-∞, 1): возьмем x = 0. Подставляем: (0 - 1)^2 * (0 - 2) = 1 * -2 < 0 (знак отрицательный).
2. Для интервала (1, 2): возьмем x = 1.5. Подставляем: (1.5 - 1)^2 * (1.5 - 2) = 0.25 * -0.5 < 0 (знак отрицательный).
3. Для интервала (2, +∞): возьмем x = 3. Подставляем: (3 - 1)^2 * (3 - 2) = 4 * 1 > 0 (знак положительный).

Таким образом, решение: x ∈ (2, +∞).

• Первое неравенство: x ∈ (-∞, -5/2) ∪ (0, 5/2).
• Второе неравенство: x ∈ [5, 6).
• Третье неравенство: x ∈ (2, +∞).