Давайте решим систему неравенств шаг за шагом.

Первая часть системы: -x² + 2x + 8 ≤ 0.

Для начала, упростим неравенство:

• Переносим все члены на одну сторону: -x² + 2x + 8 ≤ 0 можно переписать как x² - 2x - 8 ≥ 0 (умножаем на -1 и меняем знак неравенства).

Теперь найдем корни уравнения x² - 2x - 8 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36.
• Корни уравнения: x1 = (2 + √36) / 2 = 4 и x2 = (2 - √36) / 2 = -2.

Теперь мы имеем корни x = 4 и x = -2. Чтобы определить знаки выражения x² - 2x - 8, рассмотрим промежутки:

• Промежутки: (-∞, -2), (-2, 4), (4, +∞).

Теперь проверим знак в каждом из промежутков:

• Для x < -2, например, x = -3: (-3)² - 2*(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 (положительно).
• Для -2 < x < 4, например, x = 0: 0² - 2*0 - 8 = -8 (отрицательно).
• Для x > 4, например, x = 5: 5² - 2*5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 (положительно).

Таким образом, x² - 2x - 8 ≥ 0 в промежутках:

• x ≤ -2 и x ≥ 4.

Теперь перейдем ко второй части системы: 6 - 2(x + 1) > 2x.

Упростим это неравенство:

• Раскроем скобки: 6 - 2x - 2 > 2x.
• Упростим: 4 - 2x > 2x.
• Переносим все члены с x в одну сторону: 4 > 4x.
• Разделим обе стороны на 4: 1 > x или x < 1.

Теперь у нас есть два условия:

• Для первого неравенства: x ≤ -2 или x ≥ 4.
• Для второго неравенства: x < 1.

Теперь найдем пересечение этих условий:

• Из условия x ≤ -2 мы видим, что оно удовлетворяет второму неравенству, так как -2 < 1.
• Из условия x ≥ 4 мы видим, что оно не удовлетворяет второму неравенству, так как 4 не меньше 1.

Таким образом, решение системы неравенств: