Решите уравнение: (х² + 6х)² + 2(х + 3)² = 81

Алгебра 8 класс Квадратные уравнения алгебра 8 класс уравнение решение квадрат х² 6х 2(х + 3)² 81 математические задачи школьная математика уравнения с квадратами Новый

Давайте решим уравнение (х² + 6х)² + 2(х + 3)² = 81 пошагово.

Шаг 1: Введение замены

Обратите внимание, что выражение (х + 3) встречается в обоих слагаемых. Это позволяет нам сделать замену для упрощения уравнения. Пусть u = х + 3.

• Тогда х² + 6х можно записать как (х + 3)² - 9 (поскольку (х + 3)² = х² + 6х + 9).
• Следовательно, х² + 6х = u² - 9.

Теперь уравнение принимает вид:

(u² - 9)² + 2u² = 81

Шаг 2: Решение полученного уравнения

Раскроем скобки и упростим уравнение:

1. Раскроем квадрат первого слагаемого: (u² - 9)² = u⁴ - 18u² + 81.
2. Подставим это в уравнение: u⁴ - 18u² + 81 + 2u² = 81.
3. Упростим: u⁴ - 16u² + 81 = 81.
4. Вычтем 81 с обеих сторон: u⁴ - 16u² = 0.

Теперь мы имеем уравнение: u⁴ - 16u² = 0.

Шаг 3: Разложение на множители

Вынесем u² за скобку:

• u²(u² - 16) = 0

Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

• u² = 0, откуда u = 0.
• u² - 16 = 0, откуда u² = 16, следовательно, u = 4 или u = -4.

Шаг 4: Возвращение к переменной х

Теперь вернемся к переменной х, используя наши значения для u:

• Если u = 0, то х + 3 = 0, откуда х = -3.
• Если u = 4, то х + 3 = 4, откуда х = 1.
• Если u = -4, то х + 3 = -4, откуда х = -7.

Ответ: х = -3, х = 1, х = -7.