Для решения уравнения 3mn - 7 = 3n - 2m в натуральных числах, начнем с его преобразования. Переносим все члены в одну сторону:

Шаг 1: Перепишем уравнение:

3mn - 3n + 2m - 7 = 0

Теперь группируем подобные члены:

3mn - 3n + 2m = 7

Шаг 2: Выразим n через m:

3n(m - 1) + 2m = 7

Теперь из этого уравнения можно выразить n:

3n(m - 1) = 7 - 2m

n = (7 - 2m) / (3(m - 1))

Шаг 3: Убедимся, что n является натуральным числом. Для этого числитель (7 - 2m) должен быть положительным, а также делится на 3(m - 1). Рассмотрим возможные значения m, начиная с 1:

• m = 1:

n = (7 - 2*1) / (3*(1 - 1)) = 5 / 0 (не определено)

• m = 2:

n = (7 - 2*2) / (3*(2 - 1)) = 3 / 3 = 1 (натуральное число)

• m = 3:

n = (7 - 2*3) / (3*(3 - 1)) = 1 / 6 (не натуральное)

• m = 4:

n = (7 - 2*4) / (3*(4 - 1)) = -1 / 9 (не натуральное)

Как видно, при m = 2 мы получили, что n = 1. Проверим решение:

Подставим m = 2 и n = 1 в исходное уравнение:

3*2*1 - 7 = 3*1 - 2*2

6 - 7 = 3 - 4

-1 = -1 (верно)

Шаг 4: Проверим другие значения m:

• m = 5:

n = (7 - 2*5) / (3*(5 - 1)) = -3 / 12 (не натуральное)

• m = 6:

n = (7 - 2*6) / (3*(6 - 1)) = -5 / 15 (не натуральное)

Таким образом, мы видим, что единственным решением в натуральных числах является:

Ответ: m = 2, n = 1.