У нас есть формула для вычисления высоты мяча, подброшенного вертикально вверх: h(t) = -2t² + 11t, где h — высота в метрах, t — время в секундах. Вопросы к этой формуле следующие:

1. Через сколько секунд мяч будет находиться на высоте 5 м?
2. На какой высоте будет мяч через 2 секунды?
3. Какой наибольшей высоты достигнет мяч?
4. Через сколько секунд мяч опустится на землю?

Алгебра 8 класс Квадратные уравнения высота мяча формула высоты алгебра 8 класс время мяч максимальная высота мяч на земле вычисление высоты подбрасывание мяча Новый

Давайте разберем каждый вопрос по порядку, используя данную формулу высоты мяча h(t) = -2t² + 11t.

1. Через сколько секунд мяч будет находиться на высоте 5 м?

Для того чтобы найти время, когда мяч будет на высоте 5 метров, мы подставляем h(t) = 5 в уравнение:

-2t² + 11t = 5.

Теперь приводим уравнение к стандартному виду:

-2t² + 11t - 5 = 0.

Умножим всё на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента:

2t² - 11t + 5 = 0.

Теперь мы можем использовать формулу дискриминанта D = b² - 4ac для решения квадратного уравнения:

• a = 2, b = -11, c = 5.
• D = (-11)² - 4 * 2 * 5 = 121 - 40 = 81.

Теперь находим корни уравнения:

• t1 = (11 + √81) / (2 * 2) = (11 + 9) / 4 = 20 / 4 = 5.
• t2 = (11 - √81) / (2 * 2) = (11 - 9) / 4 = 2 / 4 = 0.5.

Таким образом, мяч будет находиться на высоте 5 метров через 0.5 секунды и через 5 секунд.

2. На какой высоте будет мяч через 2 секунды?

Для нахождения высоты мяча через 2 секунды подставим t = 2 в формулу h(t):

h(2) = -2(2)² + 11(2) = -2(4) + 22 = -8 + 22 = 14.

Таким образом, через 2 секунды мяч будет находиться на высоте 14 метров.

3. Какой наибольшей высоты достигнет мяч?

Наибольшая высота достигается в момент времени, когда производная функции высоты равна нулю. Найдем вершину параболы, используя формулу:

t = -b / (2a), где a = -2, b = 11.

t = -11 / (2 * -2) = 11 / 4 = 2.75 секунд.

Теперь подставим это значение в формулу высоты:

h(2.75) = -2(2.75)² + 11(2.75) = -2(7.5625) + 30.25 = -15.125 + 30.25 = 15.125 метров.

Таким образом, наибольшая высота, которую достигнет мяч, составляет 15.125 метров.

4. Через сколько секунд мяч опустится на землю?

Чтобы найти, когда мяч вернется на землю, нужно решить уравнение h(t) = 0:

-2t² + 11t = 0.

Факторизуем:

t(-2t + 11) = 0.

Таким образом, t = 0 или -2t + 11 = 0.

Решая второе уравнение:

-2t + 11 = 0 => 2t = 11 => t = 11 / 2 = 5.5.

Мяч опустится на землю через 5.5 секунд.

Подводя итог, мы нашли:

• Мяч будет на высоте 5 м через 0.5 и 5 секунд.
• На высоте через 2 секунды — 14 м.
• Наибольшая высота — 15.125 м.
• Мяч опустится на землю через 5.5 секунд.