Упростите следующее выражение: (x + 4√x - 12) / (√x + 6) + 2 ко всей дроби!

Алгебра 8 класс Упрощение дробей и алгебраические выражения Упрощение выражения алгебра 8 класс дроби корни математические операции Новый

Чтобы упростить выражение (x + 4√x - 12) / (√x + 6) + 2, давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Упростим дробь

Начнем с дроби (x + 4√x - 12) / (√x + 6). Для этого попробуем разложить числитель на множители, если это возможно.

Числитель: x + 4√x - 12

Мы можем заметить, что x можно представить как (√x)², и тогда числитель можно записать так:

(√x)² + 4√x - 12

Теперь попробуем разложить этот квадратный трёхчлен. Для этого найдем корни уравнения:

t² + 4t - 12 = 0, где t = √x.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 4, c = -12.

Шаг 2: Находим дискриминант

Дискриминант D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64.

Теперь находим корни:

t1 = (-4 + √64) / 2 = (-4 + 8) / 2 = 4 / 2 = 2;

t2 = (-4 - √64) / 2 = (-4 - 8) / 2 = -12 / 2 = -6 (не подходит, так как t = √x должно быть неотрицательным).

Таким образом, единственный корень t = 2.

Шаг 3: Разложим числитель

Теперь мы можем разложить числитель:

(√x - 2)(√x + 6).

Шаг 4: Подставляем обратно в дробь

Теперь подставим это разложение в дробь:

((√x - 2)(√x + 6)) / (√x + 6).

Мы можем сократить (√x + 6) в числителе и знаменателе, при условии, что (√x + 6) не равно 0 (то есть √x ≠ -6, что всегда верно, так как √x ≥ 0).

Остается только (√x - 2).

Шаг 5: Добавляем 2

Теперь возвращаемся к нашему выражению:

(√x - 2) + 2 = √x.

Итак, окончательный ответ:

Упрощенное выражение равно √x.