Верно ли, что из любых пяти натуральных чисел можно выбрать три числа, сумма которых делится на три?

Алгебра 8 класс Комбинаторика алгебра 8 класс натуральные числа сумма чисел делимость на три комбинаторика выбор чисел математическая задача Новый

Да, это утверждение верно. Давайте подробно разберем, почему это так.

Для начала, вспомним некоторые свойства делимости на 3. Любое натуральное число при делении на 3 может дать один из трех возможных остатков: 0, 1 или 2. Это означает, что любое натуральное число можно отнести к одной из трех категорий:

• Числа, которые при делении на 3 дают остаток 0 (обозначим их как A).
• Числа, которые при делении на 3 дают остаток 1 (обозначим их как B).
• Числа, которые при делении на 3 дают остаток 2 (обозначим их как C).

Теперь, если у нас есть пять натуральных чисел, то по принципу Дирихле мы можем рассмотреть, как они распределяются по этим трем категориям. Принцип Дирихле говорит о том, что если у нас есть больше объектов, чем категорий, то по крайней мере в одной категории будет больше одного объекта.

В нашем случае у нас 5 чисел и 3 категории. Это значит, что в одной из категорий (A, B или C) должно быть как минимум два числа. Рассмотрим несколько возможных случаев:

1. Если в категории A (остаток 0) есть 3 числа, то их сумма будет делиться на 3.
2. Если в категории B (остаток 1) есть 3 числа, то их сумма также будет делиться на 3, так как 1 + 1 + 1 = 3.
3. Если в категории C (остаток 2) есть 3 числа, то их сумма будет делиться на 3, так как 2 + 2 + 2 = 6.
4. Если в одной категории есть 2 числа, а в другой — 1 число, то можно выбрать 2 числа из первой категории и 1 число из второй. Например, если 2 числа из A и 1 из B, то их сумма также будет делиться на 3 (0 + 0 + 1 = 1, но если взять 2 из B, то 1 + 1 + 1 = 3).

Таким образом, независимо от того, как распределены 5 чисел по остаткам при делении на 3, всегда можно выбрать 3 числа, сумма которых будет делиться на 3. Поэтому утверждение верно.