1) Рассмотрим функцию y=x^2+6x+8. Ответьте на следующие вопросы:

• а) В каких промежутках эта функция возрастает и убывает?
• б) Где расположены точки экстремума данной функции?
• в) Каковы максимальное и минимальное значения функции на отрезке [-4,1]?

Пожалуйста, дайте подробные ответы.

Алгебра 9 класс Исследование функций функция y=x^2+6x+8 промежутки возрастания и убывания точки экстремума максимальные минимальные значения функции отрезок [-4,1] Новый

Рассмотрим функцию y = x^2 + 6x + 8. Для решения поставленных вопросов, мы сначала найдем производную функции, чтобы определить ее поведение (возрастание и убывание), а затем найдем точки экстремума и максимальные и минимальные значения на заданном отрезке.

Шаг 1: Найдем производную функции.

Производная функции y по x будет:

y' = 2x + 6.

Шаг 2: Найдем критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы приравняем производную к нулю:

2x + 6 = 0.

Решим это уравнение:

• 2x = -6;
• x = -3.

Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = -3.

Шаг 3: Определим интервалы возрастания и убывания.

Теперь мы можем определить знаки производной в интервалах, которые образуются критической точкой. Мы рассмотрим интервалы:

• (-∞, -3);
• (-3, +∞).

Выберем тестовые точки:

• Для x = -4 (в интервале (-∞, -3)): y'(-4) = 2(-4) + 6 = -2 (отрицательное значение, значит функция убывает);
• Для x = 0 (в интервале (-3, +∞)): y'(0) = 2(0) + 6 = 6 (положительное значение, значит функция возрастает).

Итак, функция:

• Убывает на интервале (-∞, -3);
• Возрастает на интервале (-3, +∞).

Шаг 4: Определим точки экстремума.

Мы нашли, что критическая точка x = -3. Чтобы определить, является ли это точкой минимума или максимума, мы можем использовать тест на знак производной:

• При x < -3 функция убывает;
• При x > -3 функция возрастает.

Это означает, что в точке x = -3 находится минимум.

Шаг 5: Найдем значение функции в точке минимума.

Подставим x = -3 в исходную функцию:

y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1.

Таким образом, минимальное значение функции равно -1 в точке (-3, -1).

Шаг 6: Найдем максимальное и минимальное значения на отрезке [-4, 1].

Теперь нам нужно проверить значения функции на концах отрезка и в точке экстремума:

• y(-4) = (-4)^2 + 6(-4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0;
• y(-3) = -1 (минимум);
• y(1) = (1)^2 + 6(1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15.

Итак, на отрезке [-4, 1]:

• Минимальное значение: -1 (в точке x = -3);
• Максимальное значение: 15 (в точке x = 1).

Таким образом, мы ответили на все поставленные вопросы:

• Функция убывает на (-∞, -3) и возрастает на (-3, +∞);
• Точка экстремума: x = -3 (минимум);
• Минимальное значение на отрезке [-4, 1] равно -1, максимальное значение равно 15.