Как можно проанализировать функцию y=3x^5-5x^3 на ее участки возрастания и убывания?

Алгебра 9 класс Исследование функций анализ функции участки возрастания участки убывания y=3x^5-5x^3 алгебра 9 класс производная функции исследование функции график функции поведение функции математический анализ Новый

Чтобы проанализировать функцию y = 3x^5 - 5x^3 на участки возрастания и убывания, нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции.
2. Определить критические точки.
3. Построить таблицу знаков производной.
4. Сделать вывод о возрастании и убывании функции.

Шаг 1: Найти производную функции.

Нам нужно найти первую производную функции y. Используя правила дифференцирования, мы получаем:

y' = d/dx (3x^5) - d/dx (5x^3) = 15x^4 - 15x^2.

Шаг 2: Определить критические точки.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Для этого решаем уравнение:

15x^4 - 15x^2 = 0.

Вынесем общий множитель:

15x^2(x^2 - 1) = 0.

Теперь у нас есть два множителя: 15x^2 = 0 и (x^2 - 1) = 0.

Решая эти уравнения, получаем:

• 15x^2 = 0 → x = 0;
• x^2 - 1 = 0 → x = ±1.

Таким образом, критические точки: x = -1, 0, 1.

Шаг 3: Построить таблицу знаков производной.

Теперь мы определим знак производной на интервалах, разделенных критическими точками: (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, +∞).

Выберем тестовые значения из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, -1) возьмем x = -2: y' = 15(-2)^4 - 15(-2)^2 = 240 - 60 = 180 (положительно);
• Для интервала (-1, 0) возьмем x = -0.5: y' = 15(-0.5)^4 - 15(-0.5)^2 = 15(0.0625) - 15(0.25) = 0.9375 - 3.75 = -2.8125 (отрицательно);
• Для интервала (0, 1) возьмем x = 0.5: y' = 15(0.5)^4 - 15(0.5)^2 = 15(0.0625) - 15(0.25) = 0.9375 - 3.75 = -2.8125 (отрицательно);
• Для интервала (1, +∞) возьмем x = 2: y' = 15(2)^4 - 15(2)^2 = 240 - 60 = 180 (положительно);

Теперь мы можем составить таблицу знаков:

• (-∞, -1): y' > 0 (возрастает);
• (-1, 0): y' < 0 (убывает);
• (0, 1): y' < 0 (убывает);
• (1, +∞): y' > 0 (возрастает).

Шаг 4: Сделать вывод о возрастании и убывании функции.

На основе анализа производной мы можем сделать следующие выводы:

• Функция возрастает на интервале (-∞, -1);
• Функция убывает на интервалах (-1, 0) и (0, 1);
• Функция возрастает на интервале (1, +∞).

Таким образом, мы проанализировали функцию y = 3x^5 - 5x^3 и определили ее участки возрастания и убывания.