Как определить координаты точки минимума для функции y = 11 + 108x - x^3?

Алгебра 9 класс Исследование функций координаты точки минимума функция y = 11 + 108x - x^3 алгебра 9 класс нахождение минимума функции анализ функций кубическая функция Новый

Чтобы определить координаты точки минимума функции y = 11 + 108x - x³, необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем использовать методы анализа производной. Давайте разберем этот процесс поэтапно.

1. Найти первую производную функции.

   Первая производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении x. Для функции y = 11 + 108x - x³, найдем производную:

   y' = d(11)/dx + d(108x)/dx - d(x³)/dx = 0 + 108 - 3x² = 108 - 3x².

2. Найти критические точки.

   Критические точки функции находятся там, где первая производная равна нулю или не существует. Установим первую производную равной нулю:

   108 - 3x² = 0.

   Решим это уравнение:

   • 3x² = 108
   • x² = 36
   • x = ±6.

   Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 6 и x = -6.

3. Определить характер критических точек.

   Для этого мы можем использовать вторую производную:

   y'' = d(108 - 3x²)/dx = -6x.

   Теперь подставим найденные критические точки в вторую производную:

   • Для x = 6: y''(6) = -6 * 6 = -36 (отрицательное значение, значит, это точка максимума).
   • Для x = -6: y''(-6) = -6 * (-6) = 36 (положительное значение, значит, это точка минимума).
4. Найти координаты точки минимума.

   Теперь мы знаем, что точка минимума находится при x = -6. Подставим это значение в исходную функцию, чтобы найти y:

   y = 11 + 108(-6) - (-6)³ = 11 - 648 + 216 = 11 - 432 = -421.

Итак, координаты точки минимума для функции y = 11 + 108x - x³: (-6, -421).