Алгебра

1. Рассмотрим функцию f(x) = 2x + 3 корень 3 степени из x^2. Что нужно сделать:

   • а) Найти критические точки функции f(x) на отрезке [-8;1]
   • б) Определить наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-8;1]

2. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x^5 + 2x^3 + 3x - 11 на отрезке [-1;1]?

3. Имеется функция f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + a. Какое значение параметра a нужно найти, чтобы наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2;1] было равно 6?

Алгебра 9 класс Исследование функций алгебра 9 класс критические точки функции Наибольшее значение функции наименьшее значение функции отрезок [-8;1] отрезок [-1;1] значение параметра a функция f(x) анализ функции задачи по алгебре Новый

Давайте разберем ваши задачи по порядку.

Задача 1: Найти критические точки функции f(x) = 2x + 3 * корень(3 степени из x^2) на отрезке [-8;1].

1. Сначала найдем производную функции f(x). Для этого используем правило дифференцирования:
• Производная от 2x равна 2.
• Для 3 * корень(3 степени из x^2) используем правило: производная корня (n-ой степени) равна (1/n) * (x^(1/n - 1)) * (производная подкоренного выражения).
• В данном случае, производная от корня(3 степени из x^2) равна (1/3) * (x^(-2/3)) * (2x) = (2/3) * (x^(1/3)).
2. Таким образом, производная f'(x) будет равна: f'(x) = 2 + 2/3 * (x^(1/3)).
3. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
• 2 + 2/3 * (x^(1/3)) = 0.
• Решим это уравнение: 2/3 * (x^(1/3)) = -2.
• (x^(1/3)) = -3.
• x = (-3)^3 = -27.
4. Критическая точка x = -27 не попадает в отрезок [-8;1], поэтому проверяем значения функции на границах отрезка.

Задача 2: Определить наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-8;1].

1. Находим значения функции на границах отрезка:
• f(-8) = 2*(-8) + 3 * корень(3 степени из (-8)^2) = -16 + 3 * 4 = -16 + 12 = -4.
• f(1) = 2*1 + 3 * корень(3 степени из 1^2) = 2 + 3 * 1 = 2 + 3 = 5.
2. Сравниваем значения: -4 и 5. Наименьшее значение f(x) на отрезке [-8;1] равно -4, а наибольшее значение равно 5.

Задача 3: Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x^5 + 2x^3 + 3x - 11 на отрезке [-1;1].

1. Сначала находим производную f'(x):
• f'(x) = 5x^4 + 6x^2 + 3.
2. Теперь находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
• 5x^4 + 6x^2 + 3 = 0.
• Эта функция не имеет действительных корней, так как дискриминант будет отрицательным.
3. Значит, мы проверяем значения функции на границах отрезка:
• f(-1) = (-1)^5 + 2*(-1)^3 + 3*(-1) - 11 = -1 - 2 - 3 - 11 = -17.
• f(1) = 1^5 + 2*1^3 + 3*1 - 11 = 1 + 2 + 3 - 11 = -5.
4. Сравниваем значения: -17 и -5. Наименьшее значение функции на отрезке [-1;1] равно -17, а наибольшее значение равно -5.

Задача 4: Найти значение параметра a, чтобы наименьшее значение функции f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + a на отрезке [-2;1] было равно 6.

1. Сначала находим производную f'(x):
• f'(x) = 3x^2 + 6x + 3.
2. Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
• 3x^2 + 6x + 3 = 0.
• Упрощаем: x^2 + 2x + 1 = 0, что дает (x + 1)^2 = 0, следовательно, x = -1.
3. Теперь находим значения функции на границах и в критической точке:
• f(-2) = (-2)^3 + 3*(-2)^2 + 3*(-2) + a = -8 + 12 - 6 + a = -2 + a.
• f(-1) = (-1)^3 + 3*(-1)^2 + 3*(-1) + a = -1 + 3 - 3 + a = -1 + a.
• f(1) = 1^3 + 3*1^2 + 3*1 + a = 1 + 3 + 3 + a = 7 + a.
4. Теперь сравниваем значения:
• Наименьшее значение функции будет равно min(-2 + a, -1 + a, 7 + a).
5. Чтобы наименьшее значение функции было равно 6, решаем уравнение:
• -2 + a = 6. Следовательно, a = 8.

Таким образом, значение параметра a, чтобы наименьшее значение функции на отрезке [-2;1] было равно 6, равно 8.