Биссектрисы внутренних углов треугольника продолжаются до пересечения с описанной около треугольника окружностью. В результате попарного соединения этих точек получается новый треугольник. Известно, что углы исходного треугольника равны 30, 60 и 90 градусов, а его площадь равна 2. Какова площадь нового треугольника?

Алгебра 9 класс Геометрия треугольников алгебра 9 класс площадь треугольника биссектрисы треугольника углы треугольника описанная окружность геометрия треугольника задачи по алгебре математические задачи площадь нового треугольника Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа исходного треугольника. У нас есть треугольник с углами 30, 60 и 90 градусов. Это прямоугольный треугольник, где угол 90 градусов находится напротив самой длинной стороны, которая является гипотенузой.

Шаг 1: Найдем стороны треугольника.

• Согласно свойствам 30-60-90 треугольника, если короткая сторона (напротив 30 градусов) равна a, то:
• Сторона напротив 60 градусов будет равна a√3.
• Гипотенуза (напротив 90 градусов) будет равна 2a.

Площадь треугольника равна 2, и она вычисляется по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

В нашем случае основание можно взять как короткую сторону (a), а высоту как сторону, напротив 60 градусов (a√3). Подставим в формулу:

(1/2) * a * (a√3) = 2.

Упрощаем:

(a²√3)/2 = 2.

Умножим обе стороны на 2:

a²√3 = 4.

Теперь выразим a²:

a² = 4/√3.

Следовательно, a = √(4/√3) = 2/√(√3) = 2√3/3.

Шаг 2: Найдем длины сторон треугольника.

• Короткая сторона (напротив 30 градусов): a = 2√3/3.
• Сторона напротив 60 градусов: a√3 = (2√3/3) * √3 = 2/√3.
• Гипотенуза: 2a = 2 * (2√3/3) = 4√3/3.

Шаг 3: Найдем радиус описанной окружности.

Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по формуле:

R = a / (2 * sin(A)), где A - угол напротив стороны a.

Для угла 90 градусов:

R = (4√3/3) / (2 * sin(90)) = (4√3/3) / 2 = 2√3/3.

Шаг 4: Найдем точки пересечения биссектрис с окружностью.

Биссектрисы внутреннего угла треугольника делят его углы пополам. Углы между биссектрисами будут равны 15, 30 и 45 градусов. Эти углы будут образовывать новый треугольник.

Шаг 5: Найдем площадь нового треугольника.

Площадь нового треугольника будет равна 4 * площадь исходного треугольника, так как новый треугольник будет подобен исходному треугольнику с коэффициентом подобия 2.

Таким образом:

Площадь нового треугольника = 4 * 2 = 8.

Ответ: Площадь нового треугольника равна 8.