ДАЮ 31 БАЛ, ПОМОГИТЕ СРОЧНООО

Стороны треугольника равны 11 см, 13 см и 20 см. Через вершину наименьшего угла проведен перпендикуляр к плоскости треугольника, а с его конца, который не принадлежит треугольнику, опущен перпендикуляр длиной 24 см на противоположную этому углу сторону. Найдите длину перпендикуляра, проведенного к плоскости треугольника.

Алгебра 9 класс Геометрия треугольников алгебра 9 класс треугольник стороны треугольника перпендикуляр наименьший угол длина перпендикуляра плоскость треугольника задача по геометрии решение задачи математические задачи школьная математика геометрия высота треугольника свойства треугольника Новый

Давайте внимательно разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть треугольник ABC со сторонами AB = 13 см, AC = 11 см и BC = 20 см. Для начала определим, какой угол в треугольнике является наименьшим. Наименьший угол всегда против наименьшей стороны. В нашем случае наименьшая сторона — это AC = 11 см. Следовательно, угол B (угол, против стороны AC) является наименьшим.

Теперь проведем перпендикуляр BM из вершины B на плоскость треугольника ABC. Также из точки M, которая находится на конце этого перпендикуляра, опустим перпендикуляр MN на сторону AC. Длина этого перпендикуляра MN равна 24 см.

По теореме о трех перпендикулярах мы знаем, что если BM перпендикулярен плоскости треугольника ABC, то BM также перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, BM перпендикулярен высоте BH, проведенной из точки B на сторону AC. Это значит, что MN — проекция BM на плоскость треугольника ABC.

Теперь нам нужно найти длину BM. Для этого мы воспользуемся формулами для нахождения площади треугольника. Площадь S треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. Первый способ: используя сторону AC и высоту BH. Тогда S = 1/2 * AC * BH.
2. Второй способ: используя формулу Герона, где полупериметр p = 1/2 * (AC + AB + BC) = 22 см, а площадь S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где a, b, c — стороны треугольника.

Подставив значения, мы получаем:

p = 22, a = 11, b = 13, c = 20.

Тогда S = √(22 * (22 - 11) * (22 - 13) * (22 - 20)) = √(22 * 11 * 9 * 2) = √(4356) = 66 см².

Теперь можем найти высоту BH:

BH = 2S / AC = 2 * 66 / 11 = 12 см.

Теперь у нас есть высота BH, и мы можем найти длину BM с использованием прямоугольного треугольника BMH, где MN является одной из сторон, а BH — другой. Мы можем использовать теорему Пифагора:

BM² = MN² + BH².

Подставляем известные значения:

BM² = 24² + 12² = 576 + 144 = 720.

Следовательно, BM = √720 = 12√5 см.

Таким образом, длина перпендикуляра, проведенного из точки B к плоскости треугольника, составляет 12√5 см.