Давайте внимательно разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть треугольник ABC со сторонами AB = 13 см, AC = 11 см и BC = 20 см. Для начала определим, какой угол в треугольнике является наименьшим. Наименьший угол всегда против наименьшей стороны. В нашем случае наименьшая сторона — это AC = 11 см. Следовательно, угол B (угол, против стороны AC) является наименьшим.

Теперь проведем перпендикуляр BM из вершины B на плоскость треугольника ABC. Также из точки M, которая находится на конце этого перпендикуляра, опустим перпендикуляр MN на сторону AC. Длина этого перпендикуляра MN равна 24 см.

По теореме о трех перпендикулярах мы знаем, что если BM перпендикулярен плоскости треугольника ABC, то BM также перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, BM перпендикулярен высоте BH, проведенной из точки B на сторону AC. Это значит, что MN — проекция BM на плоскость треугольника ABC.

Теперь нам нужно найти длину BM. Для этого мы воспользуемся формулами для нахождения площади треугольника. Площадь S треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. Первый способ: используя сторону AC и высоту BH. Тогда S = 1/2 * AC * BH.
2. Второй способ: используя формулу Герона, где полупериметр p = 1/2 * (AC + AB + BC) = 22 см, а площадь S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),где a, b, c — стороны треугольника.

Подставив значения, мы получаем:

p = 22, a = 11, b = 13, c = 20.

Тогда S = √(22 * (22 - 11) * (22 - 13) * (22 - 20)) = √(22 * 11 * 9 * 2) = √(4356) = 66 см².

Теперь можем найти высоту BH:

BH = 2S / AC = 2 * 66 / 11 = 12 см.

Теперь у нас есть высота BH, и мы можем найти длину BM с использованием прямоугольного треугольника BMH, где MN является одной из сторон, а BH — другой. Мы можем использовать теорему Пифагора:

BM² = MN² + BH².

Подставляем известные значения:

BM² = 24² + 12² = 576 + 144 = 720.

Следовательно, BM = √720 = 12√5 см.

Таким образом, длина перпендикуляра, проведенного из точки B к плоскости треугольника, составляет 12√5 см.